1. Uchburchaklar. Uchburchak bissektrisasi. Uchburchaklar tengsizligi. Uchburchaklar tengligi alomatlari

Uchburchaklarning o’xshashligi.
Agar ikkita A1B1C1 va A2B2C2 uchburchak berilgan bo’lib (11-rasm):
1) ularning mos tomonlari o’zaro proporsional, ya‘ni
2) ularning mos burchaklari o‗zaro teng, ya‘ni ∠A1 = ∠A2.
∠B1 = ∠B2, ∠C1 = ∠C2 bo’lsa, bu uchburchaklar o’xshash deyiladi.

O’xshash uchburchaklar mos tomonlarining nisbati bu uchburchaklarning o’xshashlik koeffitsiyenti deb ataladi:
Uchburchakdagi metrik munosabatlar.
1- teorema. Ixtiyoriy uchburchak ikki tomoni kvadratlari ayirmasi bu tomonlarning uchburchakning uchinchi tomoniga mos proyeksiyalari kvadratlari ayirmasiga teng.
Isboti. ΔABC ning B uchidan BD ⊥ AC to‗g‗ri chiziq o‗tkazamiz (29-rasm). U vaqtda AB tomonning AC tomonga proyeksiyasi AD kesmadan, BC tomonning AC tomonga proye ksiyasi DC kesmadan iborat bo’ladi. Demak, BC2-AB2 =DC2-AD2 bo’lishini isbotlash kerak bo’ladi. Balandlik o’tkazish natijasida hosil bo’lgan to’g’ri burchakli ΔABD va ΔDBC ni qaraymiz. Pifagor teoremasiga ko’ra mos ravishda:
AB2 = AD2 + BD2, BC2 = BD2+ DC2 munosabatlarni olamiz. Ularning ikkinchisidan birinchisini ayirib, talab qilingan BC2 – AB2 = DC2 – AD2
tenglikni olamiz. Teorema isbotlandi.

Klitinikdan tarjima
679.Koordinatalarni o'zgartirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri bitta nuqtani (degenerat ellips) belgilashini aniqlang va uning koordinatalarini toping.
680.Koordinatalarni o'zgartirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri giperbolani aniqlaganligini aniqlang va uning yarim kataklari qiymatlarini toping:

681Koordinatalarni o'zgartirmasdan, quyidagi tenglamalarning har biri kesishgan juft chiziqni (degenerat giperbola) belgilashini aniqlang va ularning tenglamalarini toping:

682. Koordinatalarni o'zgartirmasdan, qaysi geometrik tasvirlarni quyidagi tenglamalar bilan aniqlanishini aniqlang:

683. Har qanday elliptik tenglama uchun koeffitsientlarning hech biri yo'qolib ketmasligi va ular bir xil belgi sonlari ekanligini isbotlang.
684. Ikkinchi darajadagi elliptik tenglama ellipsni aniqlaydi, agar va qarama-qarshi belgilar sonlari bo'lsa .
685. Ikkinchi darajadagi elliptik tenglama xayoliy ellips tenglamasi ekanligini isbotlang va agar va bo'lsa va bir xil belgilar sonlari bo'lsa .
686. Ikkinchi darajadagi elliptik tenglama degenerat ellipsni (nuqta) aniqlaydi va agar u faqat bo'lsa.
687. Ikkinchi darajadagi giperbolik tenglama giperbolani aniqlaydi va agar shunday bo'lsa, isbotlang .
688. Ikkinchi darajadagi giperbolik tenglama egenerativ giperbolani (kesishgan chiziqlar juftligi ) aniqlaydi va agar u faqat bo'lsa.
25-bob. Parabolik tenglamani eng oddiy shaklga kamaytirish
Tenglama qilaylik.
(1)
parabolik, ya'ni shartni qondiradi .

Bunday holda, (1) tenglama bilan aniqlangan chiziq markazsiz yoki cheksiz ko'p markazlarga ega. Parabolik tenglamani koordinata o'qlarini aylantirish orqali soddalashtirishni boshlash, ya'ni formulalar yordamida (1) birinchi tenglamani o'zgartirish maqsadga muvofiqdir.
(2)
Burchakni tenglamadan topish kerak
(3)
u holda yangi koordinatalarda (1) tenglama yoki shaklga keltiriladi
(4)
qayerda yoki shaklga
(5)
qayerda .
(4) va (5) tenglamalarni yanada soddalashtirish (aylantirilgan) o'qlarni parallel tarjima qilish orqali amalga oshiriladi
689.Quyidagi tenglamalarning har biri parabolik ekanligini aniqlang; ularning har birini eng oddiy shaklga keltiring; ular qanday geometrik tasvirlarni belgilashlarini aniqlash; har bir holat uchun chizilgan rasmda asl koordinata tizimining o'qlarini, eritma paytida kiritilgan boshqa koordinata tizimlarining o'qlarini va ushbu tenglama bilan aniqlangan geometrik tasvirni tasvirlang:

690Tenglama uchun oldingi topshiriqdagi kabi bir xil vazifani bajaring:

691. Har qanday parabolik tenglama uchun koeffitsientlari har xil belgilar sonlari bo'lishi mumkin emasligini va ular bir vaqtning o'zida yo'q bo'lib ketmasligini isbotlang.
692. Har qanday parabolik tenglamani shaklda yozish mumkinligini isbotlang . Ushbu shaklda elliptik va giperbolik tenglamalarni yozish mumkin emasligini isbotlang.

693. Quyidagi tenglamalar parabolik ekanligini aniqlang va ularning har birini 692-masalada ko'rsatilgan shaklda yozing:

694. Agar ikkinchi darajali tenglama parabolik bo'lsa va shaklda yozilgan bo'lsa ,

u holda uning chap tomonidagi diskriminant formulada aniqlanadi
.
695. Parabolik tenglama isbotlang

o'zgartirish orqali ,

shakli qisqartirildi ,

qaerda ,

va bu tenglama chap tomonida aql-idrok.