1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatori Bizga davri

 1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatoriBizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) = f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx01( )af x dx1( ) cosnaf xnxdx1( ) sinnbf xnxdxQuyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dxIkkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:0000( )() ()()()aaaaf x dxfx dxfx dxfx dx,0( )[( )()] ( ),aaaf x dxf xfxd xf(x) funksiya toq bo’lsa, fxfx0( )[( )( )] ( )0,aaaf x dxf xf xd x

f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni fxfx00( )[( )()] ( )2( ) ( )aaaaf x dxf xfxd xf x d x Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juftva toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.1)f (x) funksiya davri T = 2πbolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.00012( )( )af x dxaf x dx012( ) cos( ) coskaf xkxdxf xkxdx1( ) sin0kbf xkxdx01( )cos2knaf xakxJuft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk= 0.2)f (x) funksiya davri T = 2πbolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toqfunksiya bo lsin.01( )0af x dx1( ) cos0kaf xkxdx012( ) sin( ) sinkbf xkxdxf xkxdx01( )sin2knaf xbkxToq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslardan iborat ekan, ao= 0, ak= 0 Misol.Davri T = 2πga teng bo'lgan,(,0)( ),[0,)xagarxf xxagarx funksiyaning Furye qatoriga yoying.

Furye qatori haqida tushuncha.

Har bir hadi u x a nx b nx n n n ( ) = cos + sin (n = 0,1,2,...) quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan å ¥ = + + 1 0 ( cos sin ) n a an nx bn nx (1.1) funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi. , , , , ,... 0 1 1 2 2 a a b a b sonlar esa trigonometrik qatorning koeffisientlari deyiladi. Bu qatorda asosiy masala ularning koeffisientlarini topishdan iborat (1.1) trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi å= = + + n k n k k T x a a kx b kx 1 0 ( ) ( cos sin )

trigonometrik ko’phad deb ataladi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya [- p,p ] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx , f(x)sinnx (n=1,2,,…) funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida [-p ,p ] da integrallanuvchi bo’ladi.Bu funksiyalarning integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik: ò - = p p p a f (x)dx

a f x nxdx n ( )cos 1 (n=1,2,….) (1.2) ò - = p p p b f x nxdx n ( )sin 1 (n=1,2,….) Bu sonlardan foydalanib, ushbu å ¥ = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ; ) n an nx bn nx a T f x (1.3) trigonometrik qatorni tuzamiz. Ta’rif: , , , , ,... 0 1 1 2 2 a a b a b koeffisientlari (1.2) formulalar bilan aniqlangan (1.3) trigonometrik qator f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi. , , , , ,... , ,... 0 1 1 2 2 n n a a b a b a b sonlar esa f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari deyiladi. Ta’rifga asosan:

å ¥ = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ ( ; ) n an nx bn nx a f

bo’ladi. Misol .Ushbu ( ) = (-p £ £ p,a ¹ 0) a f x e x x funksiyaning Furye qatori tuzilsin. (1.2) formuladan foydalanib, bu funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: ( ) ò - - = = - = p p a ap ap ap p ap ap a e dx e e sh 1 x 1 2 0 ò - - = + + = = p p p p a a a p p 2 2 1 cos sin cos 1 n nx n nx a e nxdx x n ,( 1,2,3,...) 1 2 ( 1) 2 2 = + = - sh n n n ap a a p

b e nxdx 2 2 1 sin cos sin 1 ( 1,2,3,...) 1 2 ( 1) 2 2 1 = + = - - sh n n n n ap p a Demak, berilgan funksiyaning Furye qatori +å + = ¥ =1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n x a nx b nx a e a = þ ý ü î í ì - + - +å ¥ =1 2 2 ( cos sin ) ( 1) 2 2 1 n n nx n nx n sh a p a a ap bo’ladi. Faraz qilaylik, biror å ¥ = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a (1.3) trigonometrik (funksional) qator [- p,p ] da yaqinlashuvchi bo’lsin. Uning yig’indisini f(x) deb belgilaylik: