1. Teskari matrisa va uni topish. Ta’rif-1

Ta’rif-3. Matritsani elеmеntar almashtirishlar dеb uni quyidagicha almashtirishlarga aytiladi:
ikkita satrning yoki ikkita ustunning o‘rnini almashtirish (transpоzitsiya);
satrni (yoki ustunni) nоldan farqli iхtiyoriy sоnga ko‘paytirish;
bir satrga (yoki ustunga) birоr sоnga ko‘paytirilgan bоshqa satrni (ustunni) qo‘shish;
faqat nоllardan ibоrat satrni (ustunni) o‘chirish.
Teorema-2. Xosmas matrisani elementar almashtirishlar yordamida birlik matrisaga keltirish mumkin.
Isbot. xosmas matrisaning hamma satrlari nol bo`lmagan satrlardan iborat, shu sababli birinchi satrda noldan farqli kamida bitta element mavjud.
matrisa

ko`rinishga ega bo`lsin.
deb faraz qilish mumkin (chunki ustunlarini o`zaro almashtirib, birinchi satrdagi noldan farqli elementni birinchi o`ringa keltira olamiz). Birinchi satrni ga ko`paytirsak, o`rnida 1 hosil bo`ladi. Agar birinchi satrdagi qandaydir element 0 dan farqli bo`lsa, birinchi ustunni ga ko`paytirib, ustunga qo`shamiz va u holda element 0 ga aylanadi. Mana shu usul bilan birinchi satrdagi 1 dan boshqa hamma elementlarni 0 larga aylantirgandan keyin matrisa

ko`rinishni oladi. Ikkinchi satr nol-satrni tasvirlamaydi, chunki aks holda matrisa va demak, A ham xos matrisani bildiradi. SHu bilan birga, va bo`lishi ham mumkin emas, chunki bunday holda ham ning birinchi, ikkinchi satrlari va shuning uchun hamma satrlari chiziqli bog`langan bo`lib qoladi.
deb faraz qilib, yuqoridagi usul bilan o`rnida 1 ni va qolgan elementlar o`rnida esa 0 larni hosil qilsak, matrisa

shaklni qabul qiladi. Bu yerda ham S ning uchinchi satri nol-satrni tasvirlay olmaydi. Yana va shartda birinchi va uchinchi satrlar, shuningdek, va shartda birinchi uchta satr chiziqli bog`langan bo`ladi. Shu sababli, deb faraz qilamiz va yuqoridagi usul bilan S matrisani

shaklga keltiramiz va h.k. prosessni oxirigacha davom ettirsak va ustunga kelib yetganda, uni lozim bo`lgan songa ko`paytirsak, matrisa

ko`rinishni oladi. ■
A matrisaga teskari B matrisani topish uchun birlik matrisadan foydalansak bo`ladi:
1. A matrisaga teskari B matrisani hosil qilish uchun

matrisalarga 2-teoremada ko`rsatilgan elementar almashtirishlarni bir vaqtda tatbiq etish prosessida

matrisaga kelamiz. O`ng tomondagi matrisa xuddi ga teskari matrisani ifodalaydi, ya’ni bo`ladi. matrisa o`z navbatida, ga teskari bo`lgani uchun ham bajariladi.
2. ga teskari matrisa yagona ekanini ko`rsatish maqsadida S matrisani A ga teskari deb faraz qilib, ushbuga ega bo`lamiz:
2-misol. Ushbu xosmas

matrisaga teskari matrisani toping.
Yechilishi. matrisaga teskari matrisani toping.

matrisalarda birinchi va ikkinchi ustunlarni urnini almashtiramiz:

birinchi ustunni ga va 1 ga ko`paytirib, mos ravishda ikkinchi va uchinchiga qo`shamiz:

Ikkinchi ustunni -2 ga va -6 ga ko`paytirib, mos ravishda birinchi va uchinchiga qo`shamiz:

3- ustunni 2- va 1-ga qo`shamiz:

3- ustunni -1 ga ko`paytiramiz:

Demak,

Haqiqatan,

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisalar yordamida yechish. Endi matrisalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o`tamiz.
(1)
noma’lumli, ta tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin.

belgilashlarni kiritamiz. Endi (1) sistemani matrisalarni ko`paytirish qoidasidan foydalanib,

(2)

ko`rinishda yozish mumkin. Bu tenglama matrisaviy tenglama deyiladi. bo`lsa, teskari matrisa mavjud va hosil bo`ladi. Shunday qilib, noma’lum matrisa matrisaga teng bo`ladi, ya’ni

= .
Bu (1) tenglamalar sistemasini yechishning matrisaviy yozuvini bildiradi.
Takrоrlash uchun savоllar:
1. Maxsus matritsa deb qanday matritsaga aytiladi?
2. Maxsusmas matritsa deb qanday matritsaga aytiladi?
3. Xos matritsa deb qanday matritsaga aytiladi?
4. Xosmas matritsa deb qanday matritsaga aytiladi?
5. Tеskari matritsa ta’rifi.
6. Tеskari matritsaning mavjudligi va yagоnaligi.
7. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisalar yordamida yechish.