1. Sonlarning bo’linishi

а₁,a₂,…a_n va b₁, b₂,…b_n

to’plami berilgan bo’lib, shu bilan birga(a_k ,b_n)=1, ya’ni a_k ning har bir soni b₁ ning har bir soni bilan o’zaro tub sonlar bo’lsin, bu vaqtda (а₁,a₂,…a_n, b₁, b₂,…b_n )=1 bo’ladi.

9-teorema. Agar c son a va b sonlarga bo’linsa, shu bilan birga a va b o’zaro tub conlar bo’lsa [(a, b)=1], bu vaqtda c son ab ga bo’linadi.

Sonlarning umumiy bo’linuvchisi( karralisi)

Ikki natural son m va n ni olamiz. m va n ga bo’linadigan istalgan son, ya’ni m va n ga karrali bo’lgan son shu sonlarning umumiy bo’linuvchisi deb ataladi.

Ravshanki , m va n sonlarning umumiy bo’linuvchilari cheksiz ko’pdir. Masalan, mn soni m va n sonlarning umummiy bo’linuvchisidir; demak, mn ga bo’linadigan istalgan son m va n ning ham umumiy bo’linuvchisi bo’ladi.

Ta’rif: ikki sonning eng kichik umumiy bo’linuvchisi deb, berilgan sonlarning har biriga bo’linadigan eng kichik songa aytiladi. M va n sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi [m,n] simvol bilan belgilanadi.

Misol: [6,4]=12

Teorema. Ikki sonning umumiy bo’linuvchisi shu sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisiga bo’linadi.

Isbot s son m va n sonlarning qandaydir umumiy bo’linuvchisi, bo’lsin, t – bu sonlarning eng kichik umumiy, bo’linuvchisi bo’lsin.

S son t ga bo’linmaydi deb faraz etamiz. Bu vaqtda s ni t ga bo’lganda q bo’linma va r qoldiq hosil bo’ladi. S=qt+r, r

Eng kichik umumiy bo’linuvchini topish

1-teorema, a va b sonlarning har qanday umumiy bo’linuvchilari ga bo’linadi.

Isbot. (a, b) = d deb belgilaymiz. U vaqtda: a =ud; b=vd, bunda (u, v)= 1.

M soni a va b sonlarning umumiy bo’linuvchisi bo’lsin; demak, M son a ga bo’linishi kerak, ya’ni M=as. Ammo a=ud, shuning uchun M= uds. Lekin M son b= av ga ham bo’linadi.

Demak, .

natural sondir, (uv) = 1 bo’lganidan, s son v ga bo’linishi kerak, ya’ni s=vk, bunda k-natural son. M= as tenglikdagi a va s o’rniga ularning qiymatlarini qo’yamiz. Bu holda

M=udvk bo’ladi. Ammo dv=b va

demak,

k-butun son bo’lganidan, M soni ga bo’linadi, shuni isbotlash talab etilgan edi.

Natija. A va b sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi ga eng.

Haqiqatan, o’tgan teoremaga asosan a va b ga umumiy bo’linuvchi bo’lgan har qanday son ko’rinishga ega, bunda k ko’paytuvchi qiymatini ixtiyoriy tanlash mumkin.

Ravshanki, k=1 bo’lganda umumiy bo’linuvchi eng kichik bo’ladi.

Demak,

Natija. Ikkita o’zaro tub sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi bu sonlarning ko’paytmasiga teng.

Haqiqatdan , (a, b) = 1 bo’lganda bo’ladi. Shuni isbotlash talab etilgan edi.

2- teorema. Agar berilgan sonlarni qandaydir songa bo’lsak, u holda ularning eng kichik umumiy karralisi o’sha songa bo’linadi.

Isbot. Oldingi teoremaga asosan: (0)

Ammo

Demak,

Shuni isbotlash talab etilgan edi.

3- teorema. Agar berilgan sonlarni qandaydir uchinchi songa ko’paytirsak, bu holda bu sonlarning eng kichik umu-miy bo’linuvchisi ham shu songa ko’paytiriladi.

Isbot: 1-teoremaga asosan:

bunda m0. Ammo ,

demak, .

Biz yuqorida ikki sonning eng katta umumiy bo’luvchisi va eng kichik umumiy karralisini topishni bayon etdik. 3 va undan ortiq sonlarning eng katta umumiy bo’lubchisi va eng kichik umumiy karralisini topish ikki sonning EKUB va EKUKini topishga keladi. Buni o’rganishni talabalarning o’zlariga havola etiiladi.

“Son” atamasiga xos quyidagi chizmani berish mumkin.

SAVOL VA TOPSHIRIQLAR

1.Natural son deganda qanday sonni tushunasiz?

2.Nomanfiy butun sonlar deganda qanday sonlarni tushunasiz?

3.Nomanfiy butun sonlar yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasining bo`linishi

4.Nomanfiy butun sonlar to`plamida bo`linish munosabati