1-misol: vektor maydonning tekisligining birinchi oktantada joylashgan yuqori qismi bo‘yicha oqimni hisoblang. Yechish: 1-usul yordamida oqimni hisoblaymiz: tekisligining tenglamasini kanonik shaklga keltirib shaklini chizamiz Tekislikning normal vektorini

1-misol: vektor maydonning tekisligining birinchi oktantada joylashgan yuqori qismi bo‘yicha oqimni hisoblang.
Yechish: 1-usul yordamida oqimni hisoblaymiz: tekisligining tenglamasini kanonik shaklga keltirib shaklini chizamiz

Tekislikning normal vektorini aniqlaymiz:

vektor oqimini formula bo‘yicha hisoblaymiz

bu yerda

Shunday qilib,


2- misol: vektor maydonning silindrning yon sirtining tashqi tomonidan o‘tuvchi oqimini toping.
3-misol: vektor maydonning yopiq : sirtdan o‘tuvchi oqimini toping.


4-misol: vektor maydonning yopiq sirt bo‘yicha olingan oqimini toping.

Yechish: Ostrogradskiy formulasidan foydalansak,


bu yerda, - sirt bilan o‘ralgan jismning hajmi.

soha quyidagi sistema yordamida aniqlanadi:

Bu sistemada almashtirish bajarib, qutb koordinatalar sistemasiga o‘tib, yechamiz



Demak,

5-misol: vektorning yopiq sirt bo‘yicha vektor maydon oqimini toping.
6-misol: vektor maydonning slindr to’la sirti bo‘yicha uning tashqi tomoniga oqimini hisoblang.
7-misol: vektorning nuqtadan nuqtaga tomon yo‘nalgan chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integralini toping.
Yechish: vektorning chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integrali quyidagi formuladan topiladi:

Bu integralni hisoblash uchun to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Bu yerdan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz:

Berilgan nuqtalardan va to‘g’ri chiziqning parametrik tenglamalaridan foydalanib, ning o‘zgarish oralig‘ini topamiz: . Va chiziqli integralni hisoblaymiz:


8-misol: maydonning chiziq bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping. - parabola yoyi, - siniq chiziq (9.2.1-chizma).
Yechish: Sirkulyatsiyani

formuladan aniqlaymiz. kesmada: . Shuning uchun,

kesmada . Shuning uchun,

yoyda . Shuning uchun,

Shunday qilib,
9-misol: Ushbu

chiziqli integral integrallash yo‘liga bog’liq bo‘lish-bo‘lmasligini tekshiring.
Yechish: Buning uchun vektorning rotorini hisoblaymiz:



Shuning uchun berilgan chiziqli integral integrallash yo‘liga bog’liq emas.
10-misol: Ushbu

chiziqli integral integrallash yo‘liga bog’liq bo‘lish-bo‘lmasligini tekshiring.
Yechish: shartlar yordamida tekshiramiz:


Demak, berilgan chiziqli integral integrallash yo‘liga bog’liq bo‘ladi.