1-Mavzu: Vеktоrlar. Vеktоrlar ustida chiziqli amallar. 1-misol

1-Mavzu: Vеktоrlar. Vеktоrlar ustida chiziqli amallar.
1-misol. Parallelepipedning bitta O nuqtasidan chiqqan OA=a, OB=b, OC=c qirralarining uzunliklarini va qirralar oralaridagi BOC= , COA= , AOB= – burchaklarni bilgan holda, uning diagonali uzunligi d ni toping.

Yechish. Parallelepipedning O nuqtasidan chiqqan diagonali OD va d uning uzunligi bo'lsin. U holda . Bu yerdan

demak,

2-misol. Parallelepipedning O nuqtasidan chiqqan OA=a, OB=b, OC=c qirralarining uzunliklarini va ular orasidagi BOC= , COA= , AOB= burchaklarni bilgan holda, uning hajmini hisoblang.

Yechish: vektorlarni qaraymiz, ularning koordinatalarini biror ortonormal bazisda quyidagicha belgilaymiz:

a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂ y₂ z₂} c={x₃, y₃, z₃}

U holda parallelepiped hajmini V deb belgilab, quyidagiga ega bo'lamiz:

;

Bu yerda

yoki

3-misol. ABCD tetraedr berilgan. Uning ixtiyoriy yog'ida, masalan ABC da, ixtiyoriy S nuqtani olamiz va shu nuqtadan vektorni qo'yamiz. Bu vektorning uzunligi ABC uchburchak yuziga teng bo'lsin. d vektorni ABC uchburchak tekisligiga perpendikular qilib va yo'nalishini shunday tanlab olamizki, S^', D nuqtalar ABC tekisligining ikki tarafida yotsin. Xuddi shunday qilib, vektorni BCD yoq uchun, ni ACD uchun, nihoyat ni ABD yoq uchun yasaymiz. Yasalgan vektorlar yig'indisi

a+b+c+d=0

ekanligini isbotlang.

Isbot: deylik. U holda o'rinli, demak (fazoda oriyentatsiyani moslab olinganda):

a= [y z] b= [z x]

c= [x y] d= [(y-z) (x-z)]

Bu yerdan

a+b+c+d= [y z] + [z x]+ [x y]+ [(y-z)(x-z)]= [y z]+ [z x]+

+ [x y]+ [y x] – [y z]– [z x]+ [z z]=0
Tеоrеma: Agar ║ bo’lsa, u hоlda shunday sоn mavjudki,

(3)

bo’ladi.

Isbоt. ║ bo’lgani uchun quyidagi uch hоl bo’lishi mumkin:

1) bo’lsa, bo’lib, bundan bu hоlda bo’ladi.

2) bo’lsa, bo’lib, bundan bu hоlda bo’ladi.

3) bo’lganda ;bundan . Tеоrеma isbоtlandi.