1-Мavzu. Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarni qo’shish va ayirish. Vektorlarni songa ko’paytirish. Vektorlarning o’qdagi proeksiyasi. Vektorlarning chiziqli bog’liqligi. Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida

1-Мavzu. Vektor tushunchasi. Vektorlar ustida chiziqli amallar.Vektorlarni qo’shish va ayirish. Vektorlarni songa ko’paytirish. Vektorlarning o’qdagi proeksiyasi.Vektorlarning chiziqli bog’liqligi. Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida amallar.
Reja.

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Vektor haqida tushuncha.
   
3. 
   Vektorlar ustida chiziqli amallar.
   

Matematika, fizika, mexanika, astronomiya kabi tadbiqiy fanlarni o‘rganishdan ikki xil miqdor bilan ishlashga to‘g‘ri keladi:

1) o‘zining son qiymati bilangina aniqlanuvchi miqdorlar, bunday miqdorlarni odatda skalyar miqdorlar deb ataladi;
2) son qiymatidan tashqari yana fazodagi joylashishi hamda yo‘nalishi bilan aniqlangan miqdorlar-vektor miqdorlar. Vektor miqdorlar vektorlar yordamida tasvirlanadi.
Vektor deb fazodagi tayin uzunlikka va yo‘nalishga ega bo‘lgan kesmaga aytiladi.
Vektor ko‘pincha uning boshi va oxirini bildiruvchi ikkita harf yordamida (masaslan ) yoki birgina (masalan, ) harf orqali belgilanadi.
Vektor uzunligiga uning moduli deyiladi va  =   ko‘rinishda belgilanadi.
Agar vektorning uzunligi bir birlikka teng bo‘lsa, u birlik vektor yoki ort ort deyiladi.
Moduli nolga teng  =0 bo‘lgan vektor nol vektor deyiladi.
Noldan farqli ikkita vektor bir to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotsa, bunday vektorlar kollinear vektorlar, bitta tekislikda yotuvchi yoki shu tekislikka parallel bo‘lgan vektorlar esa komplanar vektorlar deyiladi.
Uzunliklari teng bo‘lgan va bir xil yo‘nalishga ega bo‘lgan vektorlar teng vektorlar deyiladi.
Uzunliklari teng bo‘lib, yo‘nalishlari qarama-qarshi bo‘lgan ikki vektorni qarama-qarshi vektorlar deyiladi.
Kolllinear bo‘lmagan ikki va vektorlarning yig‘indisi vektorni topishni ko‘raylik. Buning uchun vektorning boshini istalgan 0 nuqtaga qo‘yib uning uchini A nuqta deb, bu nuqtadan ikkinchi vektorni keltirib qo‘yilsa, bu vektorning uchi B nuqtaga joylashadi. 0 va B nuqtalarni birlashtirsak, izlangan vektorni hosil qilamiz.
Bu vektor va vektorlarning izlangan yig‘indisi vektor dan iborat bo‘ladi.
Yig‘indini bu usulda topishni uchburchak qoidasi deyiladi. Bundan tashqari ikki vektor yig‘indisini topish uchun parallogram usulidan foydalaniladi va quyidagi Ta’rifga asoslanadi.
Ta’rif. Boshlari biror A nuqtada yotgan ikki va vektorning yig‘indisi deb shu vektordan yasalgan
ABCD parallelogramning A uchidan C uchiga yo‘nalgan va uzunligi AC diagonalning uzunligiga teng bo‘lgan C vektorga aytiladi, ya’ni + = .
Berilgan vektordan vektorni ayirish uchun ixtiyoriy 0 nuqtadan boshlab = va = vektorlar yasaladi, so‘ngra vektorning B uchidan vektor A uchiga yo‘nalgan vektor yasaladi. Keyingi vektor-izlangan ayirma vektor bo‘ladi.
vektor va skalyar 0 son berilgan bo‘lsa, vektorning  songa ko‘paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi.
a) agar  >0 bo‘lsa, vektor vektor bilan bir xil yo‘nalishda ( 0), aks holda <0 bo‘lsa, va vektorlar qarama-qarshi yo‘nalishda bo‘ladi.
b) vektorning uzunligi (moduli)  =  formula asosida topiladi.
Vektorlarni qo‘shishning xossalari.
1⁰. +( + )=( + )+ (assotsiativlik)
2⁰. + = + (kommutativlik)
3⁰. Har qanday vektorga nol vektor qo‘shilsa, vektor hosil bo‘ladi.
4⁰. Har qanday vektor uchun shunday vektor mavjudki, uning uchun + = bo‘ladi.
Vektorlarni songa ko‘paytirishning xossalari.
1⁰.  vektor uchun 0 = .
2⁰. R uchun  = .
3⁰.  vektor va har qanday , R sonlar uchun () =() .
va vektorlar berilgan bo‘lsin. Bu vektorlarning boshlarini biror umumiy 0 nuqtaga keltiramiz yoki = va = vektorni yasaymiz. U holda AOV burchak ( vektorni vektor bilan ustma-ust tushguncha aylantirish lozim bo‘lgan ikkita burchakning kichigi) va vektorlar orasidagi burchak deyiladi va ( ^ ) ko‘rinishda yoki , , - harflardan biri orqali belgilanadi.
Demak, Ta’rifga ko‘ra ikki vektor orasidagi burchak, 0^o dan 180^o gacha oraliqda bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki, bir xil yo‘nalishdagi kollinear vektorlar orasidagi burchak 0^o ga, qarama-qarshi yo‘nalishdani vektorlar orasidagi burchak 180^o ga teng bo‘ladi. Agar vektorlar orasidagi burchak 90^o ga teng bo‘lsa ular perpendikulyar yoki ortogonal vektorlar deyiladi va bu  kabi belgilanadi.
Elementlari vektor deb ataluvchi bo‘sh bo‘lmagan V to‘plam berilgan bo‘lsin. Shuningdek,  , V uchun ( + )V va kR, V uchun V munosabatlar o‘rnatilgan bo‘lsin. Kiritilgan bu ikki amal quyidagi 8 ta aksiomani qanoatlantirsin.
1. , V uchun + = + .
2.  , , V uchun ( + )+ = +( + )
3. V da nol vektor degan element mavjud bo‘lib,  V uchun + = .
4. V ning ixtiyoriy vektori uchun V da shunday vektor mavjudki, '= . Bu vektorki odatda vektorga qarama-qarshi vektor deb ataladi va - ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni +(- )=0.
5. kR va  , V uchun k( + )=k +k
6. k,tR va  V uchun (k+t) =k +t
7. k,tR va  V uchun k(t )=(kt )
8  V uchun 1 =
Bu to‘rtta aksiomani esa vektorni songa ko‘paytirish aksiomalari deb kiritiladi.