1-mavzu: to‘plamlar va ular ustida amallar reja

5. To‘plamlarni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratish.

Ta’rif. Agar bir vaqtning o‘zida quyidagi shartlar bajarilsa, X to‘plam juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratiladi deyiladi:

1. Bo‘linish hosil qilgan qism to‘plamlar bo‘sh emas.

2. Bunday qism to‘plamlarning hech biri o‘zaro kesishmaydi.

3. Barcha qism to‘plamlarning birlashmasi berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi. Masalan, N natural sonlar to‘plamini uchta o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratish mumkin: 1) tub sonlar to‘plami; 2) murakkab sonlar to‘plami; 3) 1 dan tashkil topgan to‘plam. N to‘plamni ikkita sinfga ham ajratish mumkin – juft sonlar to‘plami va toq sonlar to‘plami.

To‘plamni sinflarga ajratish, mumkin bo‘lgan barcha klassifikatsiyalashlarning asosida yotadi. Masalan, biologiyada barcha tirik organizmlarni tiplarga ajratish, qishloq xo‘jaligida mevalarni o‘lchamlarga yoki og‘irliklariga qarab navlarga ajratish, lug‘atlarda so‘zlarni alifbo bo‘yicha joylashtirish va h.k.

To‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratish har xil qiymatlar qabul qilishi mumkin bo‘lgan biror xossa yordamida amalga oshirilishi mumkin. Masalan, ranglarga ko‘ra sinflashda har bir sinfga bir xil rangli predmetlarni joylashtirish mumkin. Buni “x bilan y bir xil rangli” munosabat orqali hosil qilish mumkin.

Xuddi shunga o‘xshash “x talaba y talaba bilan bir kursda o‘qiydi” degan munosabat bilan universitet talabalari to‘rtta kursga ajratiladi. Lekin har qanday R munosabat to‘plamni sinflarga ajratish imkonini bermaydi. Qanday xususiyatga ega bo‘lgan munosabat to‘plamni juft-jufti bilan o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga ajratishi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.

Teorema. R munosabat X to‘plamni sinflarga ajratishi uchun uning ekvivalentlik munosabati bo‘lishi zarur va yetarli.

Agar ekvivalentlik munosabati nomga ega bo‘lsa, u holda sinflarga ham unga mos nom beriladi. Masalan, agar kesmalar to‘plamida tenglik munosabati berilsa (bu ekvivalentlik munosabati bo‘ladi), u holda kesmalar to‘plami teng kesmalar sinfiga ajraladi. Uchburchaklar to‘plami o‘xshashlik munosabati bilan o‘xshash uchburchaklar sinfiga ajraladi va h.k.

Ekvivalentlik sinfini uning bitta vakili bilan aniqlash mumkin. Masalan, teng kasrlarning ixtiyoriy sinfini shu sinfga tegishli ixtiyoriy kasrni ko‘rsatish bilan berish mumkin. Bu vaziyat ekvivalentlik sinfining alohida vakillari to‘plamini o‘rganishga imkon beradi.