1-mavzu. Kirish. Xatoliklar nazariyasi Reja

10-misol. Quyidagi funktsiya qiymatini hisoblashda hosil bo‘ladigan xatoliklarni toping:
bu yerda A = 28.3  0.02, K = 0.678  0.003, V = 7.45  0.01.
Echish. Quyidagilarni aniqlaymiz: A² = 800.9; V³ = 413.5;
= 0.8234; bulardan foydalanib,

So‘ngra quyidagilarga ega bo‘lamiz:
_A = 0.02/28.3 = 0.00071;
_V = 0.01/7.45 = 0.00135;
_K = 0.003/0.678 = 0.00443
bulardan
_x=2^._A + 3^._V + 0.5^._K = 0.00142+0,00405 + 0.002202 = 0.77%.
h_x = = 4.02 ^. 10^{5 .} 0.0075 = 3.09 ^. 10³.
SHunday qilib, x = 4.02 ^. 10⁵  3.09 ^. 10³; _x = 0.77%.
Argumentlarning taqribiy qiymatlari uchun funktsiya qiymatining yo‘qotib bo‘lmaydigan xatoligini baholash masalasini ko‘raylik. Bizga
u = f (x₁, x₂, …., x_n)
differentsiallanuvchi funktsiya berilgan bo‘lib, uning argumentlarining aniq qiymatlari mahlum bo‘lmay, faqat taqribiy qiymatlari mahlum bo‘lsin. Argumentlarning absolyut xatoliklari x_i (i = 1, 2, … n) kabi bo‘lsin. U holda funktsiya qiymatining absolyut xatoligi
u = f (x₁ + x₁, x₂ + x₂, …., x_n + x_n) – f (x₁, x₂, … x_n)
bo‘ladi. x_i (i= ) qiymatlar juda kichik bo‘lganligidan, amalda ularning ko‘paytmalari, kvadratlari va yuqori darajalarini hisobga olinmasa ham bo‘ladi. SHuning uchun

SHunday qilib,
(1.12)
yoki
(1.13)
tengsizlikning ikkala tomonini u ga bo‘lib, nisbiy xatolikni baholasak,
(1.14)
hosil bo‘ladi, shuning uchun chegaraviy nisbiy xatolikni
(1.15)
kabi olish mumkin.
11-misol. TSilindr acosining radiusi R = 1.3 sm, balandligi N = 20.4 sm mos ravishda 0.01 va 0.02 aniqlikda o‘lchangan bo‘lsa, tsilindr hajmini hisoblashda hosil bo‘ladigan xatoliklarni toping.
Echish. (1.12) formulaga ko‘ra tsilindr hajmini hisoblashda hosil bo‘ladigan hatolikni aniqlaymiz. Buning uchun tsilindr hajmini ifodalovchi V = R²H funktsiyadan R, N va  kattaliklar bo‘yicha xususiy hosilalar olamiz:
= 2 ^. R^.H = 166,55; =  ^. R² = 5.31; = R^{2 .}H = 34.48.
  3,14 deb olindi. U holda  kattalikning absolyut xatoligi uchun
h_ = 0,0016 ni olishimiz mumkin. SHuning uchun
0.055+1.666+0.106=1.827 sm³1.83 sm³
Demak,
V =  ^. R²H = 108.25 sm³  1.83 sm³.
Izlanayotgan chegaraviy nisbiy xatolik

kabi bo‘ladi.

Xatoliklar nazariyasining teskari masalasi

Amalda xatoliklarning teskari masalasi ham muhim ahamiyat kasb etadi. Uni quyidagicha ifodalash mumkin: funktsiyaning xatoligi berilgan kattalikdan oshib ketmasligi uchun, argumentlar xatoligi qanday bo‘lishi kerak? (qanday olinishi kerak?). Bu masala matematik aniqlanmagan masaladan iborat. CHunki birgina mahlum bo‘lgan funktsiyaning xatoligiga ko‘ra, n ta argumentning xatoligi topilishi kerak. Ushbu masalaning sodda yechilishi teng tahsir PRINTsi’iga ko‘ra hal qilinadi. Bu PRINTsi’ga binoan quyidagi hollar qaraladi:

1.