1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

Xossalari: 
1.
.
1
0
0
0


C
C
n
2.
.
1
n
C
n

3.
).
2
(
,
n
m
C
C
m
n
n
m
n



4.
n
n
n
n
n
C
C
C
2
1
0





.
5.
1
1
1





m
n
m
n
m
n
C
C
C
, 


n
m


0
. 

---

Takrorlanishli mosliklar ya’ni gruppalashlar 
n ta elementdan m ta dan takrorlanishli mosliklarda 


n
m

ixtiyoriy element 1 
dan m martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni har bir n ta 
elementdan m ta dan takrorlanishli o’rinlashtirish nafaqat turli elementdan, balki m 
ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi ixtiyoriy elementlardan tashkil topishi mumkin. 
Tarkibi bir xil bo’lib, faqat elementlarining tartibi bilan farq qiluvchi guruhlar farq 
qilinmaydi. 
n ta elementdan m ta dan takrorlanishli o’rinlashtirishlar soni


 
!
1
!
!
1
1
.
,







n
m
m
n
C
C
m
m
n
m
takr
n
formula yordamida topiladi. 
Namunaviy misollar yechish 
1-Misol.
1-4 kurs talabalaridan 6 tasini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Yechish. 
84
!
3
!
6
!
9
6
,
4



takr
C
. 
2-Misol. 
Universitet Ilmiy Kengashi turli lavozimlarga 10 ta nomzoddan 3 tasini 
tanlamoqda. Har bir nomzod bir xil imkoniyatlga ega. 10 ta nomzoddan 3 kishidan 
iborat har xil tarkibli nechta guruh tuzish mumkin? 
Yechish. 
120
!
3
!
7
!
10
3
10




C
N
ta guruh tuzish mumkin. 
3-Misol.
Uchta o’yin soqqasini tashlashda ikkita soqqaning yoqlarida turli (oltiga 
teng bo’lmagan) raqamlar chiqsa, qolgan bir soqqada olti raqam chiqish ehtimolini 
toping. 
Yechish. 
Sinovning elementar natijalari jami soni oltiga elementlardan uchtadan 
turish mumkin bo’lgan gruppalashlar soniga, ya’ni 
C
2
5
ga teng. Izlanayotgan 
ehtimol bizni qiziqtirayotgan hodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar sonining 
mumkin bo’lgan elementar natijalarning jami soniga nisbatiga teng. 

---

2
1
4
5
6
3
2
1
2
1
4
5
3
6
2
5











C
C
; 
4-Misol.
Yashikda 1, 2,..., 10 lar bilan nomerlangan 10 ta bir xil detal bor. 
Tavakkaliga 6 ta detal olingan. Olingan detallar orasida: 
a) №1 detal; 
b) №1 va №2 detallar bo’lish ehtimolini toping. 
Yechish.
a) Sinovning mumkin bo’lgan elementar natijalari jami soni o’nta 
detaldan 6 ta detal olish usullari soniga, ya’ni 
C
6
10
ga teng. Bizni qiziqtirayotgan 
hodisaga (olingan oltita detal orasida №1 detal bor va demak, qolgan 5 ta detal 
boshqa nomerli hodisaga) qulaylik tug’diruvchi natijalar sonini hisoblab chiqaylik. 
Bunday natijalar soni, qolgan to’qqizta detaldan 5 ta detalni olish usullari soniga, 
y’ani 
C
5
9
ga teng. Izlanayotgan ehtimol qaralayotgan hodisaga qulaylik 
tug’diruvchi natijalar sonining mumkin bo’lgan elementar natijalar jami soni 
nisbatiga teng: 
b) Bizni qiziqtirayotgan hodisaga (olingan detallar orasida №1 va №2 detallar bor, 
demak, 4 ta detal boshqa nomerli) qulaylik tug’diruvchi natijalar soni qolgan 8 ta 
detaldan 4 ta detal olish usullari soniga, ya’ni 
C
4
8
ga teng.
5-Misol. 
Qurilma 5 ta elementdan iborat bo’lib, ularning 2 tasi eskirgan. Qurilma 
ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. Ishga tushirishda 
eskirmagan elementlar ulangan bo’lish ehtimolini toping. 
Yechish.
Sinovning barcha mumkin bo’lgan elementar hodisalari soni 
2
5
C
ga teng. 
Bularning ichidan 
2
3
C
tasi eskirmagan elementlar ulangan bo’lishi hodisasi A uchun 
qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun 
P(A)=
3
.
0
10
3
2
5
2
3


C
C
 

---

6-Misol
. N ta detaldan iborat partiyada n ta standart detal bor. Tavakkaliga m ta 
detal olingan. Olingan detallar orasida esa k ta standart detal bo’lish ehtimolini 
toping.
Yechish.
Sinovning mumkin bo’lgan elementar natijalari jami soni N ta detaldan m 
ta detalni ajratib olish usullari soniga ya’ni N ta elementdan m tadan tuzish mumkin 
bo’lgan gruppalashlar soni 
C
m
N
ga teng. Bizni qiziqtirayotgan hodisaga (m ta detal 
orasida k ta standart detal bor) qulaylik tug’diruvchi natijalar sonini hisoblaymiz: n 
ta standart detal orasidan k ta standart detalni 
S
k
n
ta usul bilan olish mumkin, bunda 
qolgan m-k ta detal nostandart bo’lishi lozim m-k ta nostandart detalni esa N-n ta 
nostandart detal orasidan 
S
k
m
n
N


usul bilan olish mumkin. Demak, qulaylik 
tug’diruvchi natijalar soni 
C
C
k
m
n
N
k
n



ga teng.