1. Mavzu: Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli. Reja

Yechish. (1.4) ga ko’ra , bo’ladi.
Demak izlanayotgan nuqta М(2,6; -0,8) bo’ladi.
8-misol. Agar М₁(4; 5), М₂(-2; 3) bo’lsa М₁М₂ kesmaning o’rtasi topilsin.
Yechish. . (1.5) formulaga binoan bo’ladi.
Demak М(1,4) nuqta berilgan М₁М₂ kesmaning o’rtasidir.
1.8. Fazodagi nuqtaning koordinatalari. Koordinatalar usuli
Fazodagi nuqtaning holati uchta son yordamida aniqlanishini ko’rsatamiz.
Fazoda bir xil o’lchov (masshtab) birligiga ega 0 nuqtada kesishuvchi O‘zaro perpendikulyar uchta 0х, 0у, 0z o’qlarni olamiz. Bu o’qlarni koordinata o’qlari deb atab ularni kesishish nuqtasini koordinatalar boshi deb ataymiz. Bu o’qlar joylashgan fazoni 0хуz orqali belgilaymiz.
Koordinata o’qlari 0х, 0у, 0z fazoda Dekartning to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini tashkil etadi. М 0хуz fazoning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Undan koordinata o’qlariga perpendikulyar uchta tekislik o’tkazamiz.

Tekisliklarning 0х, 0у va 0z o’qlar bilan kesishish nuqtalari М1,М2 va М3 lar М nuqtaning mos o’qlardagi proeksiyalari deyiladi (10-chizma). М1 nuqta 0х o’qda х koordinataga, М2 nuqta 0у o’qda y koordinataga va М3 nuqta 0z o’qda z koordinataga ega bo’lsin. х, у va z sonlar М nuqtaning fazodagi to’g’ri burchakli (yoki dekart) koordinatalari deyiladi va М(х,у,z) ko’rinishda yoziladi. Bunda х М nuqtaning abssissasi, у ordinatasi, z esa applikatasi deyiladi.

10-chizma.

Shunday qilib fazoning ixtiyoriy nuqtasi yagona tartiblangan sonlar uchligi shu nuqtaning koordinatalari х, у va z larni aniqlaydi.
Aksincha 0хуz fazodagi М nuqtaning holati uning uchta dekart koordinatalari yordamida to’liq aniqlanadi. Shunday qilib tartiblangan sonlar uchligi (х,у,z) bilan 0хуz fazoning nuqtalari orasida O‘zaro bir qiymatli moslik mavjud ekan.
Agar har ikkita koordinata o’qlari orqali tekisliklar o’tkazsak O‘zaro perpendikulyar bo’lgan koordinata tekisliklari deb ataluvchi uchta 0ху, 0уz, va 0хz tekisliklar hosil bo’ladi. Bu tekisliklar butun 0хуz fazoni oktantlar deb ataluvchi 8 ta qismga ajratadi.
Shunday qilib sonlar o’qining nuqtasi bitta haqiqiy son х yordamida, tekislik nuqtasining tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan o’rni ikkita tartiblangan sonlar juftligi (х,у) yordamida, fazo nuqtasining tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan holati uchta tartiblangan sonlar uchligi (х,у,z) yordamida to’liq aniqlanar ekan. Nuqtaning holatini sonlar yordamida aniqlash usuli koordinatalar usuli deb ataladi.
Bu usulning asoschisi fransuz matematigi va filosofi Rene Dekartdir (1596-1650). U geometrik masalalarni algebra usullaridan foydalanib yechishni taklif etish bilan birga Oliy matematikaning maxsus bo’limi, analitik geometriyani yuzaga kelishiga sababchi bo’ldi.