1-мавзу: Детерминантлар ва уларнинг хоссалари

Nazariy ma’lumotlar: n ta satr va n ta ustundan tashkil topgan ushbu

determinantga n-tartibli determinant deyiladi.

n-tartibli determinant avvalgi xossalar bilan soddalashtirilib, keyin quyidagi usullardan biri bilan hisoblanishi mumkin:
a) (1.3)


(1.4)

formulalar bilan biror satr yoki ustun elementlari bo‘yicha yoyib;

b) biror satrdagi (ustundagi) bittadan boshqa barcha elementlarni nolga aylantirib, so‘ngra shu satr (ustun) bo‘yicha yoyib, ya’ni tartibini pasaytirib;
c) bosh (yordamchi) diagonaldan bir tomonda yotuvchi barcha elementlarni nolga aylantirib, ya’ni uchburchak ko‘rinishga keltirib.
To’rtinchi tartibli determinant uchun quyidagicha boladi:

1-misol. Determinantlarni hisoblang: 1) biror satr yoki ustun bo‘yicha yoyib;
2) tartibini pasaytirib; 3) uchburchak ko‘rinishga keltirib.
; ;
1) Determinantni biror satr yoki ustun bo‘yicha yoyib hisoblash uchun odatda nol soni bor satr yoki ustun tanlanadi, chunki bunda nollar qatnashgan qo‘shiluvchilar nolga teng bo‘ladi. Berilgan determinantni hisoblash uchun ikkita noli bor 4-satrni tanlaymiz va (1.3) formuladan da topamiz:

2) ni tartibini pasaytirib;
2) Determinantni xossalar yordamida tartibini pasaytirib hisoblaymiz.
Bunda 2-satrning 1-ustunida joylashgan elementidan boshqa barcha elementlarini nolga keltiramiz. Buning uchun avval 2-ustunga (-4)ga ko‘paytirilgan 1- ustunni qo‘shamiz; 3-ustunga (-1) ga ko‘paytirilgan 1- ustunni qo‘shamiz; 4 -ustunga (-2)ga ko‘paytirilgan 1-ustunni qo‘shamiz, keyin hosil bo‘lgan determinantni 2-satr bo‘yicha yoyamiz:

Hosil bo‘lgan uchinchi tartibli determinantning 2 -satrida (-2) ni determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz va 2-ustunning 1- satri elementidan pastda joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz. Buning uchun 2-satrga (-2)ga ko‘paytirilgan 1- satrni qo‘shamiz, 3 -satrga (-3)ga ko‘paytirilgan 1- satrni qo‘shamiz, 3-satrda 4 ni determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz, hosil bo‘lgan determinantni 2-ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz va kelib chiqqan ikkinchi tartibli determinantni hisoblaymiz.

3) Determinantni uchburchak ko‘rinishga keltirib hisoblaymiz. Buning uchun quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:
- 3-satrni o‘zidan yuqorida joylashgan satrlar bilan ketma-ket o‘rin almashtirib, 1- satrga joylashtiramiz;
- 1-ustunning 1-satridan pastda joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz;
- 2-satrda 8 ni va 3-satrda (-3)ni determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz;
- 2-ustunning 2-satridan pastda joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz;
- 3-ustunning 4-satrida joylashgan elementini nolga aylantiramiz;
- hosil bo‘lgan uchburchak ko‘rinishgagi determinantdan tashqaridagi sonni bosh diagonal elementlariga ko‘paytiramiz.