1-Мавзу: Бир номаълумли кўпҳадлар. Кўпҳадлар устида амаллар

2. Бир номаълумли кўпҳадларнинг алгебраик ва функционал маънодаги тенглиги. Фараз этайлик f(x) ва g(x) лар R бутунлик соҳаси устида берилган (яъни коэффициентлари бутунлик соҳасининг элементларидан иборат бўлган) кўпҳадлар бўлсин.
2- таъриф. Номаълумнинг бир хил даражалари олдидаги коэффици-ентлари тенг бўлган кўпҳадлар ўзаро тенг кўпҳадлар дейилади.
0x^k=0 бўлгани учун ўзаро тенг кўпҳадлар бир-биридан фақат коэффи-циентлари нолга тенг бўлган ҳадлар билан фарқ қилиши мумкин. Бундай кўпҳадларни одатда алгебраик маънода тенг кўпҳадлар ҳам деб юритилади.
Масалан: f(x)=x+x³+x⁵ ва g(x)=0+x+0x²+x³+0x⁴+x⁵ кўпҳадлар ўзаро тенг; h(x)=x+x²+3x⁴+x⁵ ва q(x)=x+x²+3x⁴ кўпҳадлар ўзаро тенг эмас.
Бу таърифдан фойдаланиб ҳар қандай f(x) кўпҳадни доимо қуйидагича ёзиш мумкинлигига ишонч ҳосил қиламиз:


f(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + . . . + a_nxⁿ . (2)
Даражанинг таърифига асосан, агар a_n 0 бўлса, f(x) га n-даражали кўпҳад деб юритилади ва унинг даражаси n=deg.f(x) кўринишида ёзилади, a₀-эса озод ҳад дейилади. Баъзи ҳолларда даражаси n дан кичик бўлган g(x) кўпҳадни нол коэффициентлардан фойдаланиб (2) кўрини-шига келтириш мумкин, яъни k = deg.g(x)< n=deg.f(x) бўлса, у ҳолдa g(x)= b₀+ b₁x + b₂x² + . . . + b_kx^k ни g(x) =b₀ + b₁x + b₂x² + . . . + b_kx^k + 0x^k+1 + . . . + 0xⁿ каби ёзиш мумкин.
3- таъриф. Барча коэффициентлари нолга тенг бўлган кўпҳад нол кўпҳад дейилади.
Мазкур таърифга асосан камида бирта коэффициенти нолдан фарқли кўп-ҳад нолмас кўпҳад деб аталади. Фараз этайлик n- даражали f(x) кўпҳад билан биргаликда deg.g(x)=s бўлган g(x)= b₀+ b₁x + b₂x² + . . . +b_sx^s кўпҳад ҳам берилган бўлсин.
Бундай ҳолда иккита f(x) ва g(x) кўпҳадларнинг йиғиндиси деб
f(x)+g(x)=

кўпҳадни тушунамиз. Бу ерда t= max(n, s), c_=a_+b_ бўлиб, t>s бўлганда b_s+1= b_s+2 = . . . = b_t = 0 деб, t>n да эса a_n+1 = a_n+2 = . . = a_t = 0 деб олинади. Яна шуни ҳам таъкидлаш керакки a_R ва b_R дан a_+b_R келиб чиқади ва йиғинди кўпҳаднинг даражаси қўшилувчи кўпҳадлар даражасидан катта эмас. Ҳақиқатан, агар a_n=-b_n бўлса, йиғиндининг даражаси қўшилувчи кўпҳадлар даражасидан хатто кичик ҳам бўлиши мумкин.

Кўпҳадлар тўпламида айириш амали ҳам худди қўшиш сингари бажарилади. Бу тўпламда нол элемент сифатида нол кўпҳад қаралади. f(x) кўпҳад учун қарама-қарши элемент -f(x)= - a₀ - a₁x - a₂x² - . . . - a_nxⁿ дан иборат.
Энди xa=ax тенглик бажарилади деб қараб иккита f(x) ва g(x) кўпҳадларнинг кўпайтмаси тушунчасини киритамиз. Иккита f(x) ва g(x) кўп-ҳадларнинг кўпайтмаси деганда коэффициентлари

тенглик билан аниқланувчи

кўпҳадни тушунамиз. Бу ерда d₀ = a₀ b₀ , d₁= a₀ b₁ +a₁b₀ , d₂= a₀b₂ + a₁b₁+ a₂b₀ , d₃= a₀b₃+ a₁b₂+ a₂b₁+ a₃b₀ , . . . .

Кўпҳадларнинг коэффициентлари R бутунлик соҳасига тегишли бўлгани учун a_n  0 ва b_s  0 бўлганда d_n+s = a_n b_s  0 бўлиб d(x) кўпҳаднинг даражаси n ва s- даражали кўпҳадлар даражаларининг йиғиндисига тенг бўлади. Биз бундан кейин n-даражали бир номаълумли кўпҳадлар тўпламини R [x] билан белгилаймиз.У ҳолда юқорида қараб чиқилганлардан қуйидаги теорема келиб чиқади.
Теорема. Бир номаълумли кўпҳадлар тўплами R[x] бутунлик соҳасини ташкил этади.
4-таъриф. Агар кўпҳадларнинг коэффициентлари бирор P майдонга тегишли бўлса, P[x] га P майдон устида қурилган кўпҳадлар ҳалқаси (бутунлик соҳаси ) дейилади.
Юқорида қараб чиқилган кўпҳадлар устида бажариладиган қўшиш ва кўпайтириш амаллари коммутатив, ассоциатив ҳамда қўшиш амали кўпайтиришга нисбатан дистрибутив бўлганлиги сабабли теореманинг исботи юқорида қараб чиқилган мулоҳаэалардан бевосита келиб чиқади.
Кўпҳадларнинг функционал маънодаги тенглиги. Биз юқорида иккита кўпҳаднинг алгебраик маънодаги тенглиги тушунчасини баён этган эдик.
Математик анализдан маълумки x ўзгарувчининг берилган бирор соҳадан олинган ҳар қандай қийматларига мос келувчи f(x) ва g(x) функцияларнинг қийматлари устма-уст тушса, мазкур функциялар қаралаётган соҳада ўзаро тенг дейилади.
Ҳар қандай бир номаълумли f(x) ва g(x) кўпҳадларни ҳам функция деб қараш мумкин эканлиги ўз-ўзидан аён. Демак, кўпҳадларга ҳам тенглик тушунчасининг функционал таърифини қўллаш мумкин. Бу икки таъриф умуман чексиз соҳаларда (характеристикаси нолга тенг) соҳаларда эквивалент таърифлар ҳисобланади. Лекин кўпҳадларнинг алгебраик ва функционал маънодаги тенглиги таърифлари чекли соҳалар учун эквивалент эмас. Бу фикримизни исботлашдан олдин кўпҳаднинг бутунлик соҳаси-ниг исталган x= элементига мос келувчи қиймати тушунчасини киритамиз.
5-таъриф. f()=a₀+a₁+a₂²+ . . . +a_nⁿ R ифода f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+ . . . +a_nxⁿ R [x] кўпҳаднинг x= даги қиймати дейилади.
Агар f=g бўлса, кўпҳадларнинг алгебраик маънодаги тенглиги таърифидан g()=f() келиб чиқади. Лекин g()=f() дан ҳар доим ҳам g(x)=f(x) тасдиқ келиб чиқавермайди. Бу эса кўпҳадларнинг функционал ва алгебраик тенглиги таърифларининг эквивалент эмас эканлигини кўрсатади. Бу-нинг сабаби қуйидагидан иборат. Ўз-ўзидан маълумки, агар кўпҳад бирор чекли майдон устида қурилган бўлса, бу кўпҳаднинг ҳар хил қийматлари тўплами чексиз бўла олмайди. Чунки бу қийматдар R майдон элементлари-дир. Бундан эса x, x², x³, . . . , x^l, . . . , x^k, . . . кўпҳадлар орасида l  k бўлганда x^l=x^k шартни қаноатлантирувчилари албатта топилади.
Масалан, яна ўша R={0,1}, < R ;  ,  > - майдонда
x²+x=0 (1)
тенглик доим ўринли, чунки 0+0+=0, 1+1=0 . (1) дан эса қуйидагиларни ёза оламиз x³+x²+x=x³ , x³ + x² = x²- x , . . . .
Лекин кўпҳадларнинг коэффициентлари тегишли бўлган майдоннинг ўзи чексиз бўлса , юқоридаги икки хил таъриф ўзаро эквивалент бўлади. Бу тасдиқнинг исботи билан қизиққан ўқувчиларга И.В. Проскурковнинг“Числа и многочлены ,, китобидаги 8 боб 36 -параграфини кўриб чиқишни тавсия қиламиз.