|
4. Қолдиқли бўлиш ҳақидаги теорема. Агар R ҳалқа бирлик элементга эга бўлса, R[x] - кўпҳадлар ҳалқаси ўз ичига 1 ни ва x ни олганлиги сабабли 1x=x ни ҳам ўз ичига олади. Фараз этайлик b0+b1x+b2x2+ . . . +bnxn кўпҳад берилган бўлсин. Даражаси n га тенг ва бош коэффициенти bn бўлган ҳар қандай (x) кўпҳаднинг бош ҳадининг коэффициентини ҳар доим 1 га тенг ҳолга келтириб олиш мумкин. Бунинг учун
кўпҳадни қараш кифоя. g(x)-кўпҳаддан ташқари бош коэффициенти ихтиёрий бўлган f(x)= a0 + a1x + a2x2 + . . . + amxm, ( m n ) m-даражали кўпҳад берилган бўлсин.
2 теорема. Ҳар қандай f(x) ва g(x) кўпҳадлар учун шундай h(x) ва r(x) кўпҳадлар мавжудки, улар учун
f(x)= g(x)h(x)+r(x) (1)
тенглик бажарилади. Бу тенгликни қаноатлантирувчи h(x) ва r(x) лар ягона бўлиб r(x) =0 ёки deg.r(x) < deg.g(x) ва deg.h(x)< deg. f(x).
Исботи. Агар f(x) кўпҳаддан amxm - n кўпҳадни айирсак,
f(x) - am x m - n g(x)= r1(x)
кўпҳад ҳосил бўлади. r1(x) кўпҳадда amxm ҳад бўлмайди (бу ҳад ихчам-ланиб кетади). Бу ерда икки ҳол бўлиши мумкин. r1(x) нинг даражаси:
а) g(x) нинг даражасидан кичик;
б) g(x) нинг даражасидан кичик эмас.
Агар а) ҳол юз берса, h(x)=amxm-n , r(x) = r1(x) бўлиб теорема исботланган бўлади.
Биз б) ҳол устида тўхталиб ўтамиз. Фараз қилайлик deg.r1(x) deg.g(x) бўлиб r1(x) = c0 +c1 x+ . . . +ckxk кўринишга эга бўлсин. Энди g(x) кўпҳад-ни ck xn-k га кўпайтириб натижани r1(x) дан айирамиз. У ҳолда r1(x)-ck xk-ng(x)=r2(x) кўпҳадда ck xk ҳад бўлмайди, чунки у ихчамланиб кета-ди. r2(x) = d0 + d1 x + . . . + dlxl бўлсин, бу ерда яна юқоридаги икки ҳолдан бири юз бериши мумкин. Агар l n бўлса, қуйидаги айирмани тузамиз: r2(x) - dl xl - n g(x) = r3(x). Бу процессни давом эттириб, бирор қадамдан сўнг deg. r(x) < deg. g(x) га эришишимиз табиий. Бошқача қилиб айтганда
r (x) - t x - n g(x) = r (x)
тенгликда deg. r(x) < deg. g(x) бўлади.
Шундай қилиб,
f(x) - am x m - n g(x)= r1(x),
r1(x) - ck xk - n g(x) = r2(x),
r2(x) - dl xl - n g(x) = r3(x),
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .
r (x) - t x - n g(x) = r (x)
тенгликларга эга бўлдик. Бу тенгликларни ҳадлаб қўшамиз. Унда
f(x) - (am x m - n + ck xk -n + dl xl - n + . . . + t x - n ) g(x)= r (x)
ҳосил бўлади. Бу ерда am x m - n + ck xk -n + dl xl - n + . . . + t x - n = h(x) ва r (x)= r (x) десак f(x) - g(x)h(x)=r(x) ёки f(x) = g(x)h(x)+ r(x) ҳосил бўлади.
f(x) = g(x)h(x)+ r(x) тенгликдаги f(x) га бўлинувчи, g(x) га бўлувчи, h(x) га чала бўлинма , r(x) га эса қолдиқ кўпҳадлар дейилади.
Энди (1) тенгликнинг ягоналигини кўрсатамиз. Фараз этайлик (1) шарт-ни қаноатлантирувчи яна бир жуфт h0(x) ва r0(x) кўпҳадлар мавжуд, яъни
f(x) = g(x)h0(x)+ r0(x) (2)
бўлсин. (1) ва (2) тенгликларни ҳадлаб айириб
0= g(x)[h(x) - h0(x)] +r(x) - r0 (x) ёки g(x)[h(x)-h0(x)]= r0(x)-r(x)
га эга бўламиз. Бу ерда r(x) ва r0 (x) ларнинг аниқланишига асосан
deg.( r0(x)- r(x))=deg.g(x) . (3)
Агар чап томонда h(x) - h0(x) 0 бўлганда эди, deg.( r0(x)-r(x)) deg.g(x)
бўлар эди. Шунинг учун h(x)-h0(x)= 0.Бундан h(x)= h0(x), r0(x)= r(x) ни ҳоси қиламиз.
Шундай қилиб теорема тўлиқ исботланди. Бу теоремани баъзан f(x) кўп-ҳадни g(x) кўпҳадга бўлиш алгоритми ёки қолдиқли бўлиш ҳақидаги теорема деб ҳам юритилади.
5. Кўпҳад илдизлари ва чизиқли бўлувчилари орасидаги боғланиш. R бирлик элементга эга бўлган бутунлик соҳаси бўлсин.
6- таъриф. Агар R бутунлик соҳасининг бирор элементи учун f()=0 тенглик чин бўлса, элементга f(x) кўпҳаднинг илдизи дейилади.
Биринчи даражали f(x)=ax+b кўпҳад a 0 шартда рационал сонлар ҳалқасида ҳамма вақт илдизга эга, чунки f(-b/a)=-b+b=0 .
Рационал сонлар ҳалқасининг шундай кенгайтмаси мавжудки, унда даражаси n 1 ҳар қандай кўпҳад илдизга эга. Биз буни кейинрок исботлаймиз.
Нолинчи даражали f(x)=a 0 кўпҳаднинг илдизи йўқ, чунки f()=a 0. Биз нол кўпҳадни эътиборга олмаймиз, чунки бу ҳолда барча лар учун f()=0 бўлади ва бу кўпҳад чексиз кўп ечимга эга.
3-теорема.(Безу теоремаси). f(x) кўпҳадни x- га бўлишдан чиққан қолдиқ f() га тенг.
Исботи. Бўлувчи x- нинг даражаси 1 га тенг бўлгани учун r(x) қолдиқ ёки нолинчи даражали ёки нол бўлиши керак:
f(x)=( x-)h(x)+r . (1)
Бу тенгликда x= десак, f()= r ни ҳосил қиламиз.
4-теорема. x= сон f(x) кўпҳаднинг илдизи бўлиши учун f(x) нинг x- га бўлиниши зарур ва етарлидир.
Исботи. Зарурлиги. x= ни f(x) нинг илдизи деб ҳисоблаймиз. Бу ҳолда f()=0 бўлади. 1-теоремага асосан f(x) ни x- га бўлишдан чиққан қол-диқ f() га тенг. Лекин f()=0 бўлгани туфайли r=0 дир. Демак f(x) кўпҳад x- га қолдиқсиз бўлинади.
Етарлилиги. Энди f(x) кўпҳад x- га қолдиқсиз бўлинсин, яъни f(x)=( x-)h(x) бўлиб қолдиқ r=0 бўлсин. 1-теоремага кўра f()=r. Бу ерда r=0 бўлгани учун f()=0 ва демак, x= қиймат f(x) кўпҳаднинг илдизи.
5-теорема. Агар 1, 2 ,. . . , k лар f(x) кўпҳаднинг ҳар хил илдизлари бўлса, f(x) кўпҳад (x-1) (x-2) . . . (x-k) кўпайтмага бўлинади.
Исботи. Теореманинг исботини математик индукция методи ёрдамида олиб борамиз. k=1 да теореманинг ўринли эканлигини биз юқорида кўриб ўтган эдик.
Фараз этайлик теорема n=k-1 ҳол учун чин бўлсин, яъни
f(x)= (x-1) (x-2) . . . (x-k-1)g(x) (2)
Бу тенгликка x=k ни қўямиз. У ҳолда k илдиз бўлгани туфайли f(k)=0, демак x=k да (2) дан
0=(k -1) (k -2) . . . (k -k-1)g(k) (3)
ҳосил бўлади. R бутунлик соҳаси нолнинг бўлувчиларига эга бўлмаганидан ва i j (ij)шартга асосан (3) дан g(k)=0, яъни k сони g(x) кўпҳаднинг илдизи экан. Унда 2-теоремага асосан
g(x)= (x-k)h(x). (4)
Энди (4) ни (2) га қўямиз, у ҳолда
f(x)= (x-1)(x-2) . . . (x-k-1)(x-k)h(x)
ҳосил бўлади. Шунинг билан теорема тўла исботланди.
Эслатма. Баъзи ҳолларда бир неча ёки барча илдизлар устма-уст тушиб қолиши мумкин. Унда (2)-формула қуйидаги кўринишни олади: f(x)=(x-)l (x-)m g(x), (l+m
Бундай ҳолда ва илдизларни f(x) кўпҳаднинг мос равишда l ва m каррали илдизлари дейилади.
Натижа. Нолдан фарқли n 1 даражали кўпҳад R бутунлик соҳасида n тадан ортиқ илдизга эга эмас .
Бу фикр нолнинг бўлувчиларига эга бўлган ҳалқада ўринли эмас. Масалан,16 модули бўйича тузилган чегирмалар синфлари ҳалқасида f(x)= x2 кўпҳад 0, 4, 8, 12 каби илдизларга эгадир.
Ҳар қандай n 1 даражали кўпҳад комплекс сонлар майдонида доимо илдизга эга эканлигини биз кейинрок баён этамиз.
Do'stlaringiz bilan baham: |
