1-машғулот. Автоматик бошқариш тизимларининг функционал ва структура схемаларини тузиш

9-машғулот.
Автоматик бошқариш тизимларнинг барқарорлигини Михайлов ва Найквист мезонлари ёрдамида аниқлаш бўйича масалалар
Вишнеградский барқарорлик мезони алгебраик мезонлардан ҳисобланади. Бу усул учинчи даражали тенгламага эга бўлган тизимлар барқарорлигини аниқлаш учун ишлаб чиқилган.
Бунда тавсифий тенглама олдиндан шундай ўзгартирилиб олинадики, натижада учинчи кўпайтма олдидаги коэффициентларини бирига тенг бўлади. Тенгламанинг коэффициентларини учинчи кўпайтма олдидаги коэффициентига бўлиб
р³+с₁р²+с₂р + с₃=0 (5.1)

ни оламиз. Бу ифодани Вишнеградский ифодаси шаклида олиш учун параметр р ва р₁, р₂ коэффициентлар ўрнига янги ўзгарувчи Z ҳамда Вишнеградскийнинг умумлашган коэффициентлари (координаталари) X ва Y ни киритамиз:

(5.2)

Охирги ифодани олдинги формулага қўйиб ва с₃ га қисқартириб Вишнеградский тенгламаси шаклидаги тенгламани оламиз:

_(5.3)
Бунда
_(5.4)

Фараз қилайлик, тизим турғунлик чегарасида бўлсин. У ҳолда (5.1) тенглама битта манфий илдизга ва иккита мавҳум илдизга эга бўлиши керак:

(5.5)

(5.2) ни ҳисобга олиб, (5.3) ни ўрнига қуйидаги тенгликни ёзамиз:

(5.6)

Ўнг томон қавсларини очиб

(5.7)
ни оламиз.

Коэффициентларни тенглаштириб туриб, тенгламанинг ўнг ва чап томонларидаги даражаларини бир хил қийматларда

(5.8)

эканлигини аниқлаймиз. (5.4) га асосланган ҳолда с₁ ва с₂ ни кўпайтирсак

(5.9)
(5.10)
ни оламиз.
с₁ ва с₂ нинг ўрнига (5.8) дан қийматларни қўйиб ва с₃ га қисқартириб тизим турғун бўлган ҳолат учун шарт шархини ёзамиз:

XY-1=0 (5.11)

ёки
XY=1 (5.12)

Тўғри бурчакли координаталар тизими уқларига X ва Y нинг қийматларини (5.12) асосида қўйиб, тенг томонли гипербола тасвирини берувчи эгри чизиқни оламиз (5.1- расмга қаранг).

Бу эгри чизиқ шу нарсани билдирадики, тизимнинг ҳар қандай қийматларида (5.5) тенгликни қаноатлантирувчи иккита мавҳум илдизга ва 1 та ҳақиқий илдизга эга бўлиши мумкин. АБ эгри чизиқ чегара бўлиб, теккисликни турғун ва нотурғин зоналарга бўлади.
Турғунлик областини аниқлаш учун (5.3) тенгламада Гурвиц мезонини қуллаймиз. Тизим турғун бўлишлиги учун


_(5.13)
тенгсизлик бажарилиши керак.

Бундай тизимнинг турғунлик шарти – Вишнеградский мезонини топамиз:

(5.14)
ёки,
(5.15)
да тизим нотурғун бўлади, шунинг учун нотурғун зона учун
(5.14)
ёки
(5.15)
ни оламиз.
Бу нуқталарни расмга туширсак, турғун ёки нотурғун тизим эканли-гини аниқлаймиз.