1-ma’ruza. To’plamlar sistemasi

1-ma’ruza. To’plamlar sistemasi

To‘plamlar sistemasi deganda, elementlari to‘plamlardan iborat to‘plamni tushunamiz.

1-Ta’rif. Agar H to‘plamlar sistemasining istalgan ikkita A va B elementlari uchun ABH va ABH munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda H sistema to‘plamlar halqasi (qisqacha halqa) deyiladi.

2-Ta’rif. Agar H to‘plamlar sistemasining biror E elementi va shu sistemaning istalgan A elementi uchun EA=A tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda E element N sistemaning birlik elementi deyiladi.

Halqada birlik element (agar bor bo‘lsa) yagona bo‘ladi.

3-Ta’rif. Birlik elementga ega bo‘lgan H to‘plamlar halqasi to‘plamlar algebrasi deyiladi.

Misol: Biror E to‘plam olib, uning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan H to‘plam ostilar sistemasini qaraymiz. Istalgan ikkita AH va BH uchun ABH va ABH munosabatlarning o‘rinli ekanligi H ning tuzilishidan ko‘rinib turibdi. Demak, bu to‘plamlar sistemasi halqa tashkil etadi. E to‘plamning o‘zi, H sistema uchun birlik element bo‘ladi. Demak, H to‘plam ostilar sistemasi ayni vaqtda to‘plamlar algebrasi ham ekan.

Kelgusida I orqali indekslar to‘plamini belgilaymiz.

1-Teorema. Istalgan sondagi {H_,I} halqalar sistemasining kesishmasi H= ham halqa bo‘ladi.

Isboti. Aytaylik A,BH bo‘lsin. U holda ixtiyoriy I uchun A,BH_ bo‘ladi. Endi H_ ning halqa ekanligidan, ixtiyoriy I uchun AB, ABH_ kelib chiqadi. Demak, AB, ABH.

Bu teorema quyidagi tushunchani kiritishda asosiy vazifani bajaradi.

Faraz qilaylik, {F_, I} halqalar to‘plami berilgan va ixtiyoriy I uchun HF_ bo‘lsin.

4-ta’rif. Agar {F_} larning biror elementi uchun shart ixtiyoriy I uchun bajarilsa, ya’ni, = bo‘lsa, u holda halqa H sistemani o‘z ichiga olgan minimal halqa deyiladi.

2-Teorema. Har qanday N to‘plamlar sistemasi uchun shu sitemani o‘z ichiga oluvchi yagona minimal halqa mavjud.

Kelgusida, H to‘plamlar to‘plamini o‘z ichiga oluvchi minimal halqani (N) ko‘rinishda belgilanadi.

5-ta’rif. Biror H to‘plamlar sistemasi quyidagi uch shartni qanoatlantirsa, u yarim halqa deyiladi:

1. N;

2. Ixtiyoriy A, BN uchun ABN;

3. A₁A shartni qanoatlantiruvchi A₁, AH elementlar uchun H da, o‘zaro kesishmaydigan chekli sondagi A₂, A₃, . . ., A_n elementlar topiladiki, ular uchun A=A₁A₂...A_n tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Shunisi e’tiborliki, yarim halqani o‘z ichiga olgan minimal halqa elementlarini, shu yarim halqa elementlari orqali ifodalash, ya’ni topish mumkin ekan.

3-Teorema. Berilgan H yarim halqani o‘z ichiga olgan (H) minimal halqaning har bir A elementi H yarim halqadan olingan soni chekli o‘zaro kesishmaydigan A₁, A₂, A₃, . . . ,A_n to‘plamlarning birlashmasidan iborat, ya’ni har bir A(H) ushbu ko‘rinishga ega:

A=A₁A₂...A_n, A_iH, i=1,2,...,n, A_iA_j=, i  j. (1)

Isboti. H ning elementlaridan tuzilgan (1) ko‘rinishdagi to‘plamlar sistemasini, F orqali belgilaymiz. Agar A,BF bo‘lsa, u holda ularning har biri o‘zaro kesishmaydigan to‘plamlarga yoyiladi: A=A_i, B=B_j , A_i, B_jH. Endi, H yarim halqa ekanligidan S_ij =A_iB_jH bo‘ladi. Yana bir bor yarim halqa ta’rifidan foydalanib, A_i=_jC_ij_kD_ik, B_j=_iC_ij_sE_js shartlarni qanoatlantiruvchi o‘zaro kesishmaydigan D_ik,E_jsH lar mavjudligini aniqlaymiz. Bulardan AH, ABF kelib chiqadi. Demak, F to‘plam halqa ekan va H ni o‘z ichiga oladi. Teorema isbot bo‘ldi.

Ko‘p masalalarda to‘plamlar sistemasi H dan olingan, sanoqli sondagi elemetlarining birlashmasi va kesishmasini qarashga to‘g‘ri keladi. Shu tufayli quydagi ta’rifni kiritamiz.

5-Ta’rif. Agar H to‘plamlar halqasida A_nH, n=1,2,3, ... munosabatdan A= H munosabat kelib chiqsa, u holda bunday halqa  -halqa deyiladi.

Birlik elementga ega bo‘lgan  -halqa,  -algebra deyiladi.

Misol. Agar H sifatida H={1,2,3,...,n,...} to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan to‘plam ostilar to‘plami qaralsa, u holda H to‘plamlar sistemasining halqa bo‘lishi o‘z-o‘zidan ravshan. Undan tashqari, H to‘plamning sanoqli sondagi qism to‘plamlarining yig‘indisi ham uning qism to‘plami bo‘ladi. Demak, H to‘plamlar sistemasi  -halqa ekan. Ayni vaqtda H  -algebra ham bo‘ladi. Chunki H to‘plamning o‘zi H ning birlik elementi vazifasini bajaradi.

6-Ta’rif. Agar H to‘plamlar halqasida A_nH, n=1,2,3, ... munosabatdan A= H munosabat kelib chiqsa, bunday halqa -halqa deyiladi.