1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

3.11- chizma

Lekin D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`ladigan BCD uchburchak yordamicha figura bo`la olmaydi, chunki uni faqat Bc va CD tomonlar bo`yicha yasab bo`lmaydi. Shuning uchun r kesmani chizmada masalaning birinchi holidagidan boshqacharoq yo`l bilan ko`rsatamiz.

Uchburchakning AC (uzun) tomonini uning AB(qisqa) tomoni ustiga A nuqtadan boshlab qo`yamiz.

Bundan AB tomon davomida B_{ }=A_{ }- AB=AC-AB=r kesma hosil bo`ladi; uning <sub> </sub>uchini C nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BC_{ } uchburchakning yordamchi figura bo`lish yoki bo`lmasligini aniqlaylik: BC=_{ }, B_{ }=r tomonlari va CB_{ }=_{ }-_{ } bo`yicha bu uchburchakni yasash mumkin; berilganlarga tayanib yasalishi mumkin bo`lgan keying uchburchakdan izlanuvchi ABC uchburchakka o`tish ham mumkin

Haqiqatdan, izlanuvchi uchburchakning A uchini teng yonli CA_{ }uchburchakning uchi sifatida toppish mumkin. A nuqta shu teng yonli uchburchakning asosi bo`lgan C<sub> </sub> ning MN o`rta perpendikulyarida yotadi. Ikkinchi tomondan y_{ }B tomon davomida yotadi. Demak, A nuqtani bu ikki ma`lum to`g`ri chiziqning kesishish nuqtasi sifatida topib, uni C nuqta bilan tutashtirgandan keyin ABC ucburchak hosil bo`ladi.

3.12-chizma

Yasash va isbotlanishni birinchi holdagi kabi bajarib, izlanuvchi uchburchakning hosil bo`lishi r
TEKSHIRISH.

1. 
   _{ }<_{ }<_{ } bo`lganda quyidagicha uch holdan biri bo`lishi mumkin.
   

1. 
   Agar 3.9 chizmadagi singari yordamchi BC_{ }uchburchak to`g`ri burchakli bo`lmasa MN o`rta perpendikulyar _{ }B kesma davomi bilan kesishib masalaning talabiga javob beruvchi ABC uchburchak albatta hosil bo`ladi
   
2. 
   Yordamchi BC_{ } uchburchak to`g`ri burchakli bo`lsa MN o`rta perpendikulyar B_{ }kesmaga parallel bo`lib, izlangan A nuqtani hosil qilmaydi.(3.13-chizma)
   

3.13-chizma 3.14-chizma

3. 
   Yordamchi BC_{ } uchburchakning C_{ }B burchagi o`tmas burchak bo`lsa MN o`rta perpendikulyar B<sub> </sub> kesma ning <sub> </sub> uchidan nariga o`tkazilgan davomi bilan biror A nuqtada kesishadi. Lekin bu A nuqtani C nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan ABC uchburchak masaladagi talablardan biriga javob bermaydi.(3.14-chizma), chunki uning B burchagi berilgan <sub> </sub> o`tmas burchakka teng emas.
   

Demak, masala yechimga ega bo`lishi uchun berilgan <sub> </sub> shunday o`tmas burchak bo`lishi kerakki, unga suyanib yordamchi BC<sub> </sub> uchburchakni yasaganda uning, <sub> </sub> burchagi o`tkir bo`lsin.

3.15-chizma 3.16-chizma

D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BCD uchburchakning yordamchi figura bo`la olishini isbot qilamiz.

Berilgan BC=a, CD=r tomonlar va ular orasidagi C burchak bo`yicha BCD ucburchak yasash mumkin.

Bu BCD uchburchak yordamida izlanuvchi ABC uchburchakni yasash mumkin; buning uchun ABC uchburchakning A uchini toppish kerak. A nuqta ayni vaqtda teng yonli BAD uchburchakning uchidir. Bu uchburchakning uchini toppish uchun BD kesmaning o`rta perpendikulyari (MN) ni chizib, uni CD ning davomi bilan kesishtiramiz; topilgan A nuqtani B nuqta bilan tutashtirsak, izlanuvchi ABC uchburchak hosil bo`ladi.

YASASH. Analizda tuzilgan plan bo`yicha yasasak 3.16 chizmadagi ABC uchburchak hosil bo`ladi (yasash tartibi chizmada raqamlar bilan ko`rsatilgan).

ISBOT. 3.16 chizmada yasalgan ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi, chunki yasalishicha BC=_{ } ∠ACB=∠C=_{ } bo`lib, AB=AD, ya`ni AC-AB=AC-AD=DC=r.

TEKSHIRISH. Izlanuvchi ABC uchburchakning mavjud bo`lish bo`lmasligi A uchining mavjudligiga bog`liqdir. A nuqtaning mavjudligi esa BD kesmaning o`rta perpendikulyari MN to`g`ri chiziq bilan CD kesma davomining kesishish yoki kesishmasligiga bog`liq; bu esa ABC uchburchakning B uchidan AC tomoniga BH perpendikulyar tushirishdan hosil bo`lgan to`g`ri burchakli BHC uchburchakning CH kateti bilan CD=r kesmaning hamda r bilan _{ } kesmning nisbiy qiymatlariga bog`liqdir. To`g`ri burchakli uchburchakning CH=_{ } munosabatni yozib, quyidagi xollarni qaraymiz.

3.17-chizma

5. 
   Agar 3.16 chizmadagi kabi CD < CH, ya`ni r < <sub> </sub> bo`lsa, MN o`rta perpendikulyar CD ning davomi bilan biror nuqtada kesishib, izlangan A nuqtani hosil qiladi; bu ikki to`g`ri chiziqning kesishuvini to`g`ri burchakli BHD uchburchakdagi BDH burchakningo`tkir burchak bo`lishi bilan asoslash mumkin.
   

Demak, bu holda masala yechiladi va bitta uchburchak hosil bo`ladi.

6. 
   Agar, CD=CH, ya`ni <sub> </sub> bo`lsa, BD tomon BH bo`ladi. Shuning uchun MN o`rta perpendikulyar bilan CD tomonining davomi o`zaro kesishmaydi; demak, bu holda masala yechimga ega bo`lmaydi.
   
7. 
   Agar 3.17 chizmadagi singari CH 
   Agar r > α bo`lsa, uchburchak hosil bo`lmaydi, chunki bus hart uchburchakning mavjudlik shartiga to`g`ri kelmaydi.
   

Ikkinchi hol.

ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, taxminan 3.15 chizmadagi ABC uchburchakni chizib qo`yaylik. Bunda berilganlardan AC-AB= b-c=r kesmani chizmada ko`rsatish uchun(birinchi holdagi singari) AB tomonni AC tomon ustiga uning A uchidan boshlab qo`ysak, AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi.