1-ma’ruza kompleks sonlar va ular ustida amallar. R e j a

4-misol. ni ga algebraik shakilda bo‘ling.

Yechish. 1)

8. 
   Даражага кўтариш.
   

Кўпайтириш қоидасидан даражага кўтариш қоидаси келиб чиқали.

учун натурал n да

_{экани келиб чиқади. Бу формула Муавр формуласи дейилади. Бу формула комплекс сонни натурал даражага кўтаришда модул шу даражага кўтарилиши, аргумент эса даража кўрсаткичига кўпайтирилиши кераклигини кўрсатади.}

5-мисол. Мавҳум бирлик нинг натурал даражаси учун формула топинг.

Ечиш.

Умуман,

6-мисол. ни ҳисобланг.

Ечиш.

8. 
   Илдиздан чиқариш.
   

_{Бу амал даражага кўтариш амалига тескари амалдир. Комплекс соннинг} даражали илдизи деб шундай сонга айтиладики, бу соннинг даражаси илдиз остидаги сонга тенгдир, яъни агар бўлса,

Агар ва бўлса, у ҳолда:

.

Муавр формуласига биноан:

.

Бундан ва ни топамиз:

Бунда k - исталган бутун сон, -арифметик илдиз. Демак,

_.

га қийматлар бериб, илдизнинг та ҳар хил қийматига эга бўламиз, бу қийматларнинг модуллари бир хил. да илдизнинг топилган қийматлари билан бир хил бўлган қийматлар ҳосил бўлади. та илдизнинг ҳаммаси маркази координаталар бошида бўлиб, радиуси га тенг айлана ичига чизилган мунтазам томонли кўпбурчак учларида ётади.

8. 
   Кўрсаткичи комплекс бўлган кўрсаткичли функция. Эйлер формуласи, унинг қўлланиши.
   

Таъриф. Агар комплекс ўзгарувчи нинг бирор комплекс қийматлар соҳасидаги ҳар бир қийматга бошқа W комплекс миқдорнинг аниқ қиймати мос келса, у ҳолда W комплекс ўзгарувчи нинг функцияси дейилади ва ёки каби белгиланади.

Биз комплекс ўзгарувчининг битта функциясини-кўрсаткичли функцияни қараймиз:

ёки ,

бу функция бундай аниқланади:

Агар бу формулада десак, у ҳолда

Бу формула мавҳум кўрсаткичли даражали функцияни тригонометрик функциялар орқали ифодаловчи Эйлер формуласидир.

Комплекс сонни тригонометрик шаклда ифодалаймиз:

Эйлер формуласи бўйича:

Шундай қилиб, ҳар қандай комплекс сонни кўрсаткичли шаклда ифодалаш мумкин:

Мисол. сонларни кўрсаткичли шаклда ифодаланг.

Ечиш. 1) Агар бўлса, бўлади, шу сабабли

2) шу сабабли:

3) шу сабабли:

Кўпайтириш, бўлиш, даражага кўтариш ва илдиз чиқариш амаллари кўрсаткичли шаклда осон бажарилади.

бўлсин. У ҳолда:

Бу формулалар шу амалларнинг ўзи учун тригонометрик шаклда чиқарилган формулалар билан бир хил.

O‘z-o‘zini tekshirish savollari.

1. 
   Kompleks son deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Qanday kompleks sonlar teng, qarama-qarshi, qo‘shma kompleks sonlar deyiladi?
   
3. 
   Kompleks sonning algebraik va trigonometrik shakli orasidagi bog‘lanish qanday?
   
4. 
   Kompleks sonlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish qoidalari qanday?
   
5. 
   Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish formulalari.
   
6. 
   Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni darajaga ko‘tarishning Muavr formulasi.
   
7. 
   Eyler formulasi. Kompleks sonning ko‘rsatkichli shakli.