1. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning gradienti

3. Aniqmas integral xossalari.
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:
1) aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng:

2) aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng:

3) uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning differensialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o`zgarmas S ning yig`indisiga teng:

4) o`zgarmas A ko`paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqa-rish mumkin:

5) chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig`indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas in-tegrallarning algebraik yig`indisiga teng:





4. Integrallash usullari
Integrallashning eng asosiy usullarini qarab chiqamiz: yoyish, o`zgaruvchini almashtirish va bo`laklab integrallash.
1) Yoyish usuli. Bu usul integral ostidagi funksiyani, har biri jadval integraliga keladigan, bir nechta funksiyalar yig`indisiga yoyishga asoslanadi.
Misollar: Integrallarni toping: a)  ; b) 

a) 

b) 

2) Aniqmas integralda o`zgaruvchini almashtirish.

Jadvalda qatnashmagan integralni hisoblash kerak bo`lsin. x ni t erkli o`zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: , bunga teskari funksiyasi mavjud bo`lsin, u holda va bo`lib, integral jadvaliga mos keladigan integral hosil qilamiz.
Misollar:
1)  ning integralini toping. O`zgaruvchini almashtiramiz:

natijada, .
2)  ning integralini toping.
belgilash kiritamiz. U holda x-2=t², x=t²+2, dx=2tdt bo`ladi.
Natijada,
.
3) Bo`laklab integrallash. Integrallash quyidagi

formula yordamida amalga oshiriladi. Bu yerda u, v – differensialla-nuvchi funksiyalar.
Bu formulani qo`llash uchun, integral ostidagi ifoda ikki qismga ajratiladi va birinchi qismini u, qolgan qismini esa dv deb olinadi, natijada berilgan integralga nisbatan oson integrallanadigan integral hosil bo`ladi.
Misollar: Integralni toping:
u=lnx, dv=x²dx belgilashlar kiritamiz. U xolda hosil bo`ladi. Formulani qo`llash natijasida,
.