1. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi

4. Koshi kriteriyasi.

Bizga (x_n) ketma-ketlik berilgan bo`lsin.

Ta`rif. Agar har bir >0 uchun shunday n<sub>0</sub> son mavjud bo`lib, barcha n>n₀ va barcha m>n₀ lar uchun |x_n-x_m|< tengsizlik o`rinli bo`lsa, (x_n) fundamental ketma-ketlik deyiladi.
“Ixtiyoriy ketma-ketlik qanday shartda yaqinlashuvchi?” degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema (Koshi kriteriyasi). Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning fundamental bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik chekli c limitga ega bo`lsin. Limit ta`rifiga asosan har bir >0 son uchun shunday n₀ nomer topilib, barcha n>n₀ va m>n₀ larda va tengsizliklar o`rinli bo`ladi.

Shu bilan zaruriylik isbotlandi.
Yetarliligi. (x_n) fundamental ketma-ketlik bo`lsin. Ya`ni olingan >0 uchun n₀ nomer topilib, n>n₀ va m>n₀ lar uchun |x_n-x_m|< tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan x_m- _nm+ ko`shtengsizlikni hosil qilish mumkin. m ning tayin qiymatini olib sonlarning eng kattasini M deb olsak, ixtiyoriy n lar uchun | x<sub>n</sub> | M bo`lib, (x_n) ketma-ketlikning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (x_n) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi (x ) qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin: =c.
c sonni (x_n) ketma-ketlikning ham limiti ekanligini ko`rsatamiz. k ni shunday tanlaymizki, natijada n<sub>k</sub>>n<sub>0</sub> va bo`lsin. tengsizlikda m=n_k deb olsak, bo`lib,
+ =
hosil bo`ladi. Demak, =c. Teorema isbotlandi.