1. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi

3. Bolsano-Veyershtrass teoremasi.

Ravshanki, qismiy limit ketma-ketlikning limit nuqtasi bo`ladi va ixtiyoriy ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega.

Teorema (Bolsano-Veyershtrass). Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin.
Isbot. (x_n) chegaralangan ketma-ketlik bo`lsin. Bu holda uni barcha hadlarini saqlovchi [a<sub>1</sub>;b<sub>1</sub>] segment mavjud. Bu segmentni teng ikkiga bo`lamiz: , hosil bo`lgan segmentlarning kamida biri (yoki ikkalasi ham) ketma-ketlikning cheksiz ko`p hadlarini o`zida saqlaydi.
Bu segmentlardan (x<sub>n</sub>) ketma-ketlikning cheksiz ko`p hadlarini o`zida saqlaganini (ikkalasi bo`lganda, masalan chapdagisini) [a₂;b₂] orqali belgilaymiz. [a₂;b₂] ni teng ikkiga bo`lib, shu tarzda bu jarayonni cheksiz ko`p marta davom ettiramiz. Natijada ichma-ich joylashgan [a₁;b₁], [a₂;b₂],…, [a_n;b_n],… segmentlar ketma-ketligiga ega bo`lamiz. [a<sub>k</sub>;b<sub>k</sub>] segmentning uzunligi bo`lib, u k da nolga intiladi.
Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipiga binoan (a_k) va (b_k) ketma-ketliklar umumiy chekli c limitga ega bo`ladi, ya`ni
a_k = b_k =c.
(x_n) ketma-ketlikning [a₁;b₁] dagi istalgan n₁ hadini olib, uni x orqali belgilaymiz. So`ngra (x ) ni [a<sub>2</sub>;b<sub>2</sub>] dagi n<sub>2</sub>-hadidan keyin kelgan x hadini olamiz. Xuddi shu kabi (x<sub>n</sub>) ning [a<sub>3</sub>;b<sub>3</sub>] dagi x , x hadlaridan keyin keladigan x hadini olamiz. Shu protsessni davom ettirib, x , x ,...,x ,... qism ketma-ketlikni hosil qilamiz.
x larning tanlanishiga asosan a<sub>k</sub> x b<sub>k</sub>, k=1,2,.... tengsizliklar o`rinli. Demak, =c .