1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

,

,

 





:

x

S

n

   

 





,

,

,

,

x

S

x

S

x

S

n

2

1

E

x

x





0

 





0

x

S

n

 





0

x

S

n

 







1

n

n

x

u

0

x

x



0

x

 







1

n

n

x

u

E

E



0

 







1

n

n

x

u

 







1

n

n

x

u

0

E

0

E

 

 

 

 

















1

2

1

n

n

n

x

u

x

u

x

u

x

u





 







1

n

n

x

u

0

E

 







1

n

n

x

u

 





x

S

n

 

x

S

 

 





0

E

x

x

S

x

S

n





 







1

n

n

x

u

   





0

1

E

x

x

S

x

u

n

n





































1

2

1

1

1

n

n

n

x

x

x

x

R

E



---

 

Ravshanki, 

 da 

 ning limiti   ga bog’liq bo’ladi: 

а)

 

 da  

; 

б)

 

 da  

; 

в)

 

 da 

 mavjud emas. 

Demak,  berilgan  funksional  qatorning  yaqinlashish  to’plami 

  bo’lib, 

yig’indisi  

 

bo’ladi. ► 

1-keys 

3-misol

. Ushbu 

 

Funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin. 

 

4-misol.

 Ushbu  

 

Funksional qatorning yaqinlashish to’plami topilsin. 

 

 































.

1

агар

,

1

агар

,

1

1

1

1

2

х

n

х

x

x

x

x

x

x

S

n

n

n







n

 

x

S

n

x





1

1

,





x

 

x

x

x

x

x

S

n

n

n

n

































1

1

1

1

1

lim

lim











,

1

x

 









x

S

n

n

lim





1









,

x

 

x

S

n

n





lim





1

1

0

,





E

 

x

x

S





1

1

 









0

1

2









x

x

x

n

x

f

n

n

n









1

2

1

n

n

n

x

x

---

3

0

. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchiligi

. Faraz qilaylik, 

: 

 

Funksional ketma-ketlik 

 to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish to’plami 

) bo’lib, 

uning limit funksiyasi 

 bo’lsin: 

. 

Ma’lumki, bu munosabat 

 

 

 

Bo’lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural 

 son ixtiyoriy  olingan 

 

son  bilan  birga  qaralayotgan 

  nuqtaga  ham  bog’liq  bo’ladi  (chunki, 

  ning  turli 

qiymatlarida ularga mos  ketma-ketlik, umuman aytganda turlicha bo’ladi). 

6-ta’rif

.  Agar 

  son  olinganda  ham  shu 

  gagina  bog’liq  bo’lgan  natural 

 son topilsaki, 

 va ixtiyoriy 

 da 

 

Tengsizlik bajarilsa, ya’ni 

 

Bo’lsa, 

 funksional ketma-ketlik 

 to’plamda 

 ga tekis yaqinlashadi (funksional 

ketma-ketlik 

 to’plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi.  

 

shunday qilib, 

 funksional ketma-ketlik 

 to’plamda 

 limit funksiyaga ega 

bo’lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinalishish ikki xil bo’lar ekan: 

1)

 

  

Bo’lsa, 

 funksional ketma-ketlik 

 da 

 ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi). Bu 

holda 

 

Kabi belgilanadi.  

 

2) 

 

Bo’lsa, 

 funksional ketma-ketlik 

 da 

 ga tekis yaqinlashadi. Bu holda 

 

Kabi belgilanadi. 

 

ravshanki, 

  funksional  ketma-ketlik 

    to’plamda 

  funksiyaga  tekis 

yaqinlashsa u shu to’plamda 

  ga yaqinlashadi: 

 

 

 

. 

Aytaylik, 

 

Bo’lsin . Bu holda 

 va 

 da 

, ya’ni 

 

Bo’ladi.  Bu  esa 

  funksional  ketama-ketlikning  biror  hadidan  boshlab,  keyingi  barcha 

hadlari 

 funksiyaning " -oralig’i"da butunlay joylashishini bildiradi (1-chizma) 

 

 

 

 

               

 





x

f

n

 

 

 

,...

,...,

,

2

1

x

f

x

f

x

f

n



E

0

E

 

x

f

 

 

x

f

x

f

n

n







lim

 

 

 

























x

f

x

f

n

n

N

x

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0

0

0

n

0





0

E

x



0

E

x



0







0





 



0

0

n

n



0

n

n





0

E

x



 

 







x

f

x

f

n

 

 

 





























x

f

x

f

E

x

n

n

N

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0

0

0

 





x

f

n

0

E

 

x

f

0

E

 





x

f

n

0

E

 

x

f

 

 

 

























x

f

x

f

n

n

N

x

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0

0

 





x

f

n

0

E

 

x

f

 

 





0

E

x

x

f

x

f

n





 

 

 





























x

f

x

f

E

x

n

n

N

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0

0

0

 





x

f

n

0

E

 

x

f

   





0

E

x

x

f

x

f

n







 





x

f

n

0

E

 

x

f

 

x

f

   

 

 





0

E

x

x

f

x

f

x

f

x

f

n

n











   





0

E

x

x

f

x

f

n







0

n

n





0

E

x





 

 







x

f

x

f

n

 

 

 













x

f

x

f

x

f

n

 





x

f

n

 

x

f



---

                

                                    

                        

 

                         

                      

 

                                                                                                

 

 

                     

                        

                                                      

 

 

 

 

                            0                                                                     

 

                                                                                                                             

1-chizma 

  

Faraz qilaylik, 

 funksional ketma-ketlik 

 to’plamda 

 limit funksiyaga ega 

bo’lsin. 

1-teorema

. 

  funksional  ketma-ketlik 

  to’plamda 

  funksiyaga  tekis 

yaqilashishi uchun  

 

bo’lishi zarur va yetarli. 

◄ 

zarurligi

. Aytaylik, 

 

bo’lsin. Ta’rifga binoan  

 

bo’ladi. Bu tengsizlikdan  

 

bo’lib, undan 

 

bo’lishi kelib chiqadi. 

Yetarliligi

. Aytaylik  

 

bo’lsin. Limit ta’rifga ko’ra 

 

bo’ladi. Ravshanki 

. 

U holda 

 uchun  

 

bo’ladi. Bundan 

y

 





x

f

 

x

f

 





x

f

x

 





x

f

n

0

E

 

x

f

 





x

f

n

0

E

 

x

f

 

 

0

sup

lim

0











x

f

x

f

n

E

x

n

   





0

E

x

x

f

x

f

n







 

 

 





























x

f

x

f

E

x

n

n

N

n

n

n