1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

Teorema. va funksiyalar intervalda differensiallanuvchi, shu bilan birga bo`lsin hamda da ikkala funksiya ham nolga yoki cheksizlikka intilsin. Bunday holda ularning hosilalarining nisbati da limitga ega bo`lsa, bu funksiyalarning nisbati ham limitga ega bo`ladi, ya`ni

(65)

Isboti. hol uchun isbotni keltirish bilan chegaralanamiz. deb nuqtada va funksiyalarni aniqlab olamiz. U holda bu funksiyalar istalgan bu erda segmentda uzluksiz bo`lib qoladi va iхtiyoriy segment uchun Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun

Bu erda kattalik ga bog`liq bo`lishini, lekin da kattalik ga intilishini aytib o`tishimiz kerak. Demak,

1 – misol. ni toping.

Yechilishi. Quyidagiga egamiz:

Hosilalarning nisbati yoki ko`rinishdagi aniqmaslik bo`lsa, Lopital qoidasini yana qo`llanish mumkin, ya`ni ikkinchi tartibli hosilalarning nisbatiga o`tish mumkin.

2 – misol. ni toping.

Yechilishi. Bu erda surat va maхraj bir vaqtda nolga intiladi. Lopital qoidasinin ikki marta qo`llanib, quyidagini topamiz:

va lar da хamda , da bir vaqtda ga va ga intilganda ham teorema o`rinli bo`laveradi.