1. Ehtimoliy o’lchov va taqsimotlarning sust yaqinlashuvi a Tasodifiy miqdorlar va taqsimot funksiya

1.Ehtimoliy o’lchov va taqsimotlarning sust yaqinlashuvi
a)Tasodifiy miqdorlar va taqsimot funksiya
Ω bo’sh bo’lmagan elementar hodisalar fazosi bo’lsin. Ω ning elementlarini nuqtalar yoki elementar hodisalar deb ataymiz va ω harfi bilan belgilaymiz.
Aytaylik, F -elementar hodisalar fazosining biror qismiy to’plamlari to’plami bo’lsin. Agar

1. 
   Ω F ,
   
2. 
   A ∈ F dan Ω\ A ∈ F kelib chiqsa,
   
3. 
   Chekli yoki sanoqli sondagi A_1, A₂, ..., A_n,… to’plamlarning F ga qarashliligidan U_n A_n ∈ F kelib chiqsa, F to’plam hodisalar σ-algebrasi yoki hodisalar Borel maydoni deyiladi. F ning elementlari hodisalar deyiladi.
   

Ushbu ta’rifdan ko’rinadiki, agar F to’plam σ-algebrani tashkil etsa, u holda ishonchsiz hodisa, ya’ni bo’sh to’plam ham va A₁, …, A_n,… hodisalar kesishmasi ham F ning elementi bo’ladi.
Ixtiyoriy A ∈ F uchun aniqlangan va P(Ω) =1 shart bilan narmallashtirilgan, nomanfiy va chekli yoki sanoqli addetiv P(A) funksiya ehtimoliy o’lchov deyiladi. P(A) funksiyaning qiymatini A hodisaning ehtimoli deb ataymiz.
(Ω, F , P) uchlikga ehtimollar fazosi deyiladi. Ω fazoda aniqlangan haqiqiy qiymatli ixtiyoriy ξ=ξ(ω) funksiya Ω fazoni haqiqiy sonlar to’plami R ga akslantiradi.
Aytaylik, B to’plam R ning biror qismi bo’lsin va ξ^-1(B) orqali Ω ning B to’plamga akslangan qismiy to’plamini belgilaylik, ya’ni:
ξ^-1(B)={ω: ξ(ω)∈B} .
Ma’lumki, ξ^-1(B) to’plam B to’plamning asli deyiladi. Agar ixtiyoriy B Borel to’plami uchun ξ^-1(B) ∈F bo’lsa, ξ(ω) tasodifiy miqdor bo’ladi.
Ma’lumki, Borel to’plamlari sinfi o’zida barcha intervallarni saqlovchi minimal σ-algebra sifatida aniqlanadi.
Agar , ξ^-1(B) ∈ F bo’lsa, ξ(ω) o’lchovli funksiya deyiladi. Sonlar o’qidagi ixtiyoriy B Borel to’plami uchun aniqlangan
P_ξ (B)=P{ω:ξ(ω)∈B}
funksiya ξ^-1(B) to’plamning ehtimoliy o’lchovi yoki ehtimoliy funksiya deyiladi. Odatda P{ω:ξ(ω)∈B) ehtimol qisqacha P(ξ ∈ B) deb belgilanadi.
ξ tasodifiy miqdor yangi (R,B,P_ξ ) ehtimollar fazosini hosil qiladi. Bu yerda R-haqiqiy sonlar o’qi, B - R da aniqlangan Borel to’plamlari sinfi, P_ξ=P(ξ ∈ B).
Agar B=(-∞,x) bo’lsa, u holda F (x) = P(ξ˂x) funksiya ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.Ushbu funksiya quyidagi xossalarga ega:

1. 
   F(x) kamaymovchi funksiya, ya’ni ixtiyoriy x₁ ˂ x₂ sonlar uchun uchun
   

F(x₁) F (x₂);

2. 
   F (x) chapdan uzluksiz, ya’ni ixtiyoriy x₀ uchun
   

3. 
   
   

4. 
   F(x) ko’pi bilan sanoqli sondagi uzilish nuqtalariga ega.
   

Teskari tasdiq ham o’rinli , ya’ni biror F(x) funksiya yuqoridagi xossalarga ega bo’lsa, u holda albatta shunday ξ tasodifiy miqdor mavjud bo’ladiki, F(x) shu miqdorning taqsimot funksiyasini aniqlaydi.
Taqsimot funksiyasi diskret, absolut uzluksiz va singulyar bo’lishi mumkin.
Agar chekli yoki sanoqli B ∈ R to’plam mavjud bo;lib, P(ξ∈B)=1 bo’lsa, ξ diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
1-misol. ξ tasodifiy miqdor x₁, x₂, .., x_n,… qiymatlarni mos holda P₁, P₂,…_, P_n, … ehtimollar bilan qabul qilsin. Bu yerda
P_n=P(ξ= x_n), n 1 va B=( x₁, x₂, .., x_n,…).

tenglik o’rinli, demak, ξ-diskret tasodifiy miqdor.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:
(1)
2-misol. Tanga ikki marta tashlangan. Gerbli tomoni bilan tushishlar sonining taqsimot funksiyasi topilsin.
Yechish. Gerbi tomoni bilan tushishlar soni ξ bo’lsin. Ushbu tasodifiy miqdor 0,1,2 qiymatlarni mos holda ehtimollar bilan qabul qiladi. U holda (1) tenglikka ko’ra
F(x)=
Agar ξ tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarini x_n=a+nh (n=0, 1 , 2,…) ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa, u panjarasimon taqsimotga ega deyiladi. Bu yerda h taqsimotning qadami deyiladi.
Agar ixtiyoriy chekli yoi sanoqli B⊂R to’plam uchun P(ξ∈B)=0 bo’lsa, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
Agar Lebeg o’lchovi nolga teng bo’lgan ixtiyoriy B Borel to’plami uchun P(ξ∈B)=0 bo’lsa, ξ absolut uzluksiz deyiladi.
Agar Lebeg o’lchovi nolga teng bo’lgan shunday B Borel to’plami mavjud bo’lib, P(ξ∈B)=1 tenglik bajarilsa, ξ singulyar tasodifiy miqdor deyiladi.
ξ tasodifiy miqdor diskret bo’lishi uchun F(x) taqsimot funksiyasining o’sish nuqtalari to’plami diskret bo’lishi zarur va yetarlidir.
ξ tasodifiy miqdor uzluksiz bo’lishi uchun F(x) taqsimot funksiya hamma yerda uzluksiz bo’lishi zarur va yetarlidir.
ξ tasodifiy miqdor absolut uzluksiz bo’lishi uchun shunday P(x) 0 funksiya mavjud bo’lib, ixtiyoriy x uchun
F(x)=
tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Bu yerda P(x) =F^’(x) taqsimot zichligi yoki ξ ning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Funksiyalar yoyilmasi haqidagi Lebeg teoremasiga asosan ixtiyoriy F(x) tasimot funksiya
F(x)=c₁ F₂(x)+c₂ F₂(x)+c₃ F₃(x)
ko’rinishida ifodalanadi. Bu yerda c₁+c₂+c₃=1, c_i , F₁(x)-diskret, F₂(x)-absolut uzluksiz, F₃(x)-singulyar taqsimot funksiya.
Agar ixtiyoriy 0 son uchun
F(x+ )-F(x- ) 0
tengsizlik bajarilsa, x nuqta F(x) ning o’sish nuqtasi deyiladi. F(x) taqsimot funksiyasing barcha o’sish nuqtalari to’plami F(x) ning spektri deyiladi.
Agar shunday c soni mavjud bo’lib, P(ξ=c)=1 tenglik bajarilsa, ξ tasodifiy miqdor xosmas taqsimotga ega deyiladi.
Ushbu taqsimot quyidagi ko’rinishga ega:
F(x)=
Uchta diskret: xosmas, binomial va puasson taqsimotlari, bitta absolut uzluksiz bo’lgan normal taqsimot alohida ahamiyatga ega.
Agar P(ξ=m)= p^m(1-p)^n-m, m=0,1,…,n bo’lsa, ξ (n,p) parametrli binomial taqsimotga ega deyiladi.
Agar λ 0, a va b 0 sonlar berilib,
P(ξ=a+bm)= , m=0, 1, 2, …
bo’lsa, ξ (a, b, λ ) parametrli puasson taqsimotiga ega deyiladi.
Agar a soni σ>0 soni mavjud bo’lib, taqsimot zichligi
p(x)=
ko’rinishga ega bo’lsa, ξ tasodifiy miqdor (a,σ) parametrli normal taqsimotga ega deymiz.
b) Taqsimot funksiyalar ketma-ketligining yaqinlashuvi
F(x), F₁(x), F₂(x), …- taqsimot funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo’lsin. Quyidagi belgilashni kiritamiz:
ρ(F,G)=sup ,
bu yerda F(x) va G(x)-taqsimot funksiyalar.
Agar
=0
Bo’lsa, F_n funksiya F ga variatsiya bo’yicha yaqinlashadi deb aytamiz.
Agar ξ diskret tasodifiy miqdor va x₁, …, x_k, … uning qiymatlari bo’lsa, u holda
.
bu yerda, summa F(x) va F_n(x) funksiyalarning barcha uzilish nuqtalari bo’yicha olinadi.
Agar F(x) taqsimot funksiyasining barcha uzluksizlik nuqtalarida
=F(x)
munosabat o’rinli bo’lsa, F_n(x) ketma-ketlik F(x)ga sust yaqinlashadi deb aytamiz. Sust yaqinlashish F_n(x)⇒F(x) deb belgilanadi.
Teorema. g(x) sonlar o’qida uzluksiz va chegaralangan funksiya bo’lsin. U holda agar F_n(x)⇒F(x) bo’lsa,

munosabat o’rinli bo’ladi.

Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar

1. 
   Agar F to’plam σ-algebra bo’lsa, F bo’lishini ko’rsating.
   
2. 
   Agar F to’plam σ-algebra bo’lsa, F bo’lishini ko’rsating.
   
3. 
   Tanga ikki marta tashlansin. Elementar hodisalar fazosi Ω va σ-algebra F ni tuzing.
   
4. 
   O’yin soqqasi tashlanayotgan bo’lsin. Elementar hodisalar fazosi Ω ni tuzing. F ning elementlari soni nechaga teng.
   
5. 
   Tajriba biror A hodisa birinchi marta ro’y bergancha ketma-ket takrorlansin. Elementar hodisalar fazosi Ω ni tuzing. Shu fazoning mumkin bo’lgan barcha qismiy to’plamlari fazosi σ-algebrani tashkil etadimi?
   
6. 
   O’yin soqqasi ikki marta tashlansin. Tushgan ochkolar yig’indisi ξ ning taqsimot qonuni va taqsimot funksiyasini toping.
   
7. 
   Uchta soqqa uchta qutiga tasodifan joylangan. ξ-bo’sh qutilar soni, η-uchinchi qutiga tushgan soqqalar soni bo’lsin. ξ va ning taqsimot qonuni va taqsimot funksiyasini toping.
   
8. 
   kesmaga tasodifan nuqta tashlangan. ξ a nuqtadan tasodifan tashlangan nuqtagacha bo’lgan masofa bo’lsa, ξ ning taqsimot funksiyasi va taqsimot zichligini toping.
   
9. 
   Agar taqsimot funksiya
   

F(x)=
bo’lsa, quyidagilar topilsin:

1. 
   p(x) taqsimot zichligi,
   
2. 
   P( )
   
3. 
   P( )
   

10. 
    F₁(x)= , F₂(x)=
    

Funksiyalardan qaysi biri taqsimot fuksiya bo’ladi? Javobni izohlang.