1. Chiziqli tenglamalar. Parametrik usulda berilgan kasr ratsional tenglamalarni yechish

Kvadrat tenglama
Kvadrat tenglama tushunchasi VII sinfda o’tiladi. Bu tema materialini o’tishdan bir necha kun oldin o’qituvchi qo’shimcha vazifa sifatida o’quvchilarga kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratish mavzusini o’rganib kelishlarini vazifa qilib berilishi kerak.



Misol.

Kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratishni tushuntirilganidan so’ng kvadrat tenglama tushunchasini abstrakt-deduktiv usul orqali kiritiladi.

T a ‘ r i f. ax²+bx+s=0 (1) ko’rinishdagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bu yerda a, b, s berilgan sonlar, a0, x noma’lum sondir.

Bu tenglamaning ildizlarini topish uchun tenglikning chap tomonida turgan kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratamiz, ya’ni

yoki (2)

(2) tenglama (1) tenglamaga teng kuchli tenglamadir. (2) haqiqiy yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi kerak. Bu yerdagi b²– 4as (1) ning diskriminanti deyiladi va u D=b²– 4as kabi belgilanadi.

1) Agar diskriminant D=b²–4as>0 bo’lsa, (1) tenglama ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo’ladi. Bu yechimni (2) tenglamadan topa olamiz:

2) Agar diskriminant D=b²–4as<0 bo’lsa, (1) tenglama haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega emas.

3) Agar diskriminant D=b²–4as=0 bo’lsa, (1) bitta haqiqiy yechimga ega bo’ladi: .

Maktab matematika kursida to’la kvadrat tenglama koeffitsientlariga ma’lum shartlar qo’yish orqali chala kvadrat tenglamalar hosil qilamiz.

Agarda (1) b=0 va s=0 bo’lsa, ax²+bx+s=0 tenglama ax²=0 ko’rinishni oladi, uning yechimi x=0. bo’lgan x₁=x₂=0 bo’ladi. Agar b=0 bo’lsa, ax²+bx+s=0 tenglama ax²+s=0 ko’rinishni oladi, uni yechsak, bo’ladi, agar bo’lsa, bo’ladi, bunda ax²+s=0 tenglama haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega bo’ladi, ya’ni . Agar bo’lsa, ax²+s=0 tenglama haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega emas.

3) Agar s=0 bo’lsa, ax²+bx+s=0 tenglama ax²+bx=0 ko’rinishni oladi, uni yechsak

(ax²+bx)=0  x(ax+b)=0  yechimlarni hosil qilamiz.

ax²+bx+s=0 ko’rinishdagi tenglama ildizlarini yana quyidagi usul bilan ham hisoblash mumkin. Berilgan tenglamani ax²+bx=–s ko’rinishda ifodalab, uning har ikkala tomonini 4a ga ko’paytiramiz, natijada 4a²x²+4abx=–4as tenglik hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan tenglikning har ikki tomoniga b² ni qo’shamiz: 4a²s²+4abx+b²=b²–4as bundan: (2ax+b)²=b²–4as.

Agar D=b²–4as0 bo’lsa, bu tenglikning har ikki tomonidan arifmetik kvadrat ildiz chiqarish mumkin:

(2ax+b)= .

Bunda ikki hol bo’lish mumkin:

1. 
   agar 2ax+b<0 bo’lsa, –(2ax+b)= , ;
   
2. 
   agar 2ax+b>0 bo’lsa,
   

2ax+b= ,

.

Shunday qilib, diskriminant D=b²–4as>0 bo’lsa, tenglama ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo’ladi.

Kvadrat tenglama ildizlarini uning diskriminantiga ko’ra tekshirishni quyidagi jadval orqali tushuntirilsa, o’quvchilarning mantiqiy fikrlash qobiliyatlari ortadi:

D=b–4as>0	Agar s>0 bo’lsa,	b<0 bo’lsa, ikkala ildiz musbat, b>0 bo’lsa, ikkala ildiz manfiy.
	s<0 bo’lsa, ikkala ildiz har xil bo’ladi	b<0 bo’lsa, ikkala ildiz musbat, b>0 bo’lsa, ikkala ildiz manfiy.
		b>0 bo’lsa, ildizlardan biri nolga teng, ikkinchisi esa manfiy bo’ladi, b<0 bo’lsa, ildizlardan biri nolga teng, ikkinchisi esa musbat bo’ladi.
D=b–4as=0		b>0 bo’lsa, ikkala ildiz manfiy bo’ladi, b<0 bo’lsa, ikkala ildiz musbat bo’ladi.

Agar ax²+bx+s=0 tenglamada a=1 bo’lsa, hosil bo’lgan x²+bx+s=0 tenglama keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Har qanday to’la kvadrat tenglamaning har ikkala tomonini a ga bo’lish orqali uni keltirilgan kvadrat tenglama ko’rinishiga keltirish mumkin; ax²+bx+s=0 bo’lsa, , agar desak, u holda x²+bx+q=0 tenglama keltirilgan kvadrat tenglamaning umumiy ko’rinishi bo’ladi.

Bu tenglamaning yechimi formula bilan ifodalanadi.