1. Bob To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

Kirish
1.Bob To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam
1.To’plamlar va ular ustida amallar mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
2.Teng to’plamlar mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
3.Sonli to’plamlar mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
4.To’plam osti tushunchasi mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
5.Eyler-Vann diagrammasini yangi pedagogik usulda tushuntirish
6.Universal to’plam mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
7.to’plamlar birlashmasi va uning xossalari mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
8To’plamlarni o’zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
2.Bob TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI
1Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi. mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish
2Kortejlar haqida tushuncha mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish.
3Bir necha to'plamlarning dekart ko'paytmasi mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish.
4To'plamlarning dekart ko'paytmasining boshlang'ich matematika kursida tutgan o'rni mavzusini yangi pedagogik usulda tushuntirish.

TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR

Tayanch iboralar:To'plam, to'plam osti, bo'sh to'plam, chekli va cheksiz to'plamlar, birlashma, kesishma, ayirma, to'ldiruvchi to'plam osti, universal to'plam , sonli to'plamlar, to'plamni o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajratish.
"To'plam" tushunchasi-matematika kursining asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam tushunchasi xaqida aniq tasavvur hosil bo'ladi ( to'plam termini ishlatilmasa ham).
Matematikada ob'ektlar to'plami (sonlar, nuqtalar, funktsiyalar va hokazo) haqida gapirilganda bu ob'ektlarning bir butunligi tushuniladi. To'plam nazariyasining asoschisi nemis matematigi Geogr Kantor (1845­1918) bu fikrni quyidagicha izohlaydi: "to'plam" deganda biz bir-biridan farq qiluvchi qandaydir aniq predmetlar, ya'ni ob'ektlarning ongimizda bir butun shaklda mujassamlashuvini tushunamiz.
Hayotda uchraydigan ba'zi so'zlar to'plam ma'nosida ishlatiladi. Masalan, "yig'ilish" , "poda", "sbor", "kollektsiya" va hokazolar shular jumlasidandir. To'plamni tuzuvchi turli tabiat ob'ektlari (odamlar, uylar, kitoblar, geometrik figuralar, sonlar va hokazorlar)ga uning elementlari deyiladi. Masalan, 3 soni natural son to'plamining elementi hisoblanadi, May oyi yildagi oylar to'plamining elementidir. To'plam bilan uning elementi o'rtasidagi munosabatni "tegishli" hamda "tegishli emas" so'zlari orqali ifodalash mumkin. Misol, 3 soni natural sonlar to'plamiga tegishli , -2 soni natural sonlar to'plamiga tegishli emas.
To'plamlar katta lotin alifbosi harflari A,B,C,D...bilan, to'plam elementlari esa kichik lotin harflari a,b,c... bilan belgilanadi. "Tegishli"
so'zi ^£ belgi bilan, "tegishli emas" so'zi esa ^£ belgi bilan almashtiriladi. Agar "a ob'ekt biror A to'plamning elementi" bo'lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: a^£A. Bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "a element A to'plamga tegishli".
Agar "a element Ato'plamga tegishli emas" bo'lsa, quyidagicha yoziladi.
a^£ A .
Misol, agar A- juft natural sonlar to'plami bo'lsa, quyidagi misollar to'g'ri bo'ladi:
16£A; 328£A; 17 ^£ A ; 11 ^£ A.
Elementlari soniga qarab to'plamlar chekli va cheksiz to'plamlarga bo'linadi. Elementlar soni chekli bo'lsa,- chekli to'plam, elementlari soni cheksiz bo'lsa, cheksiz to'plam deb aytiladi.

1. 
   kursda o'rganiladigan predmetlar to'plami, auditoriyadagi talabalar to'plami, soch tolalari to'plami- chekli to'plam; doira ustidagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami – chek0siz to'plamga misol bo'ladi.
   

To'plam bitta elementdan iborat bo'lishi ham mumkin. Masalan "nur" so'zidagi unli harflar to'plami. Bu to'plam 1 ta elementdan, ya'ni "u" harfidan iborat.
Agar , to'plamning birorta ham elementi bo'lmasa, bunday to'plam bo'sh to'plam deyiladi. Bo'sh to'plam 0 deb belgilanadi.Masalan, oydagi odamlar to'plami, uchburchakdagi diagonallar to'plami, x +1=0 tenglama haqiqiy ildizlari to'plami bo’sh to’plamdir.
To'plamning elementlari to'plamlar ham bo'lishi mumkin. Masalan, maktabdagi sinflar to'plami. Bu to'plam elementlari bo'lgan sinflar o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir. Lekin o'quvchilar maktabdagi sinflar to'plamining elementlari bo'lmaydi.
II.To'plamlarning berilish usullari To'plam asosan ikki usulda beriladi:

1. 
   Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat".
   

Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak.

2. 
   Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi.
   

Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida.
A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin:
A={ 1,2,3,4,5 }
To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x ^£ N, x<6} bu erda N- natural sonlar
to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin:
A={M / | OM| =r}

TENG TO'PLAMLAR.

Ta'rif : Agar ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, bunday to'plamlarga teng to'plamlar deyiladi. Masalan: A={3,5,7,9} va B={7,3,9,5} to'plamlar bir xil elementlardan iborat, shuning uchun ular teng to'plamlardir .
Teng to'plamlar tushunchasi bilan quyidagi hol bog'langan: bitta to'plamning o'zi turli xarakterli xossalari orqali berilishi mumkin. Masalan : A={1,2,3,4,5} to'plamni x<6 tengsizlikning echimi bo'ladigan natural sonlar to'plami ko'rinishida , 1 va 5 sonlari orasida yotuvchi barcha butun sonlar ko'rinishida ham berilishi mumkin.
Misollar: 1) A={1,2,3,4}
B={ VT,V4,V9,VT6 }
A va B to'plamlar teng, ya'ni A=B
2) C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
D - bir xonali sonlar to'plami, C=D
To'plamlarning tengligi quyidagi uch xossani qanoatlantiradi :

1. 
   Har qanday A uchun , A=A o'rinlidir ( refleksivlik)
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita A va B to'plamlar uchun , agar A=B bo'lsa , u holda B=A (simmetriklik )
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta A,B,C to'plamlar uchun , agar A=B va B=C bo'lsa , u holda A=C bo'ladi (tranzitivlik ).
   

SONLI TO'PLAMLAR
Turli xil tabiat predmetlari (harflar, nuqtalar, tenglama va hokazo) to'plam elementlari bo'lishi mumkin. Matematikada elementlari matematik ob'ektlardan (sonlar va hokazo) iborat to'plamlar asosiy rol o'ynaydi.
Elementlari faqat sonlardan iborat bo'lgan to'plamga sonli to'plam deyiladi.
Sonli to'plamlar quyidagicha belgilanadi:

1. 
   Natural sonlar to'plami - N
   
2. 
   Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami- Zo
   
3. 
   Butun sonlar to'plami- Z
   
4. 
   Ratsional sonlar to'plami- Q
   
5. 
   Haqiqiy sonlar to'plami- R
   
6. 
   {x/x^e R va a

^{6 6} y//////////\ ^
a b

7. 
   {x/x^e R va a

""X

8. 
   {x/x^e R va a

a _b
TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI
24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni
bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin.
Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi.
Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B
Misollar:

1. 
   B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami
   

B ^ A ekanligini ko'rish mumkin.

2. 
   M-uchburchaklar to'plami
   

N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M

3. 
   N-Natural sonlar to'plami
   

Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z
To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning
to'plam ostisidir: 0 <= A
Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin:

1. 
   A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi
   
2. 
   A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi.
   

Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0.
To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz.
To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir.
To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. 
   xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi.
   

Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi.

2. 
   xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik)
   

Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi.
EYLER-VENN DIAGRAMMALARI
To'plam , to'plam osti tushunchalari, matematik tushunchalar va geometrik figuralarni aniqlashda qo'llaniladi. Geometrik figuralar deb istalgan nuqtalar to'plamiga aytiladi. Shunday qilib, kesma, nur, tug'ri chiziq, uchburchak, aylana, kub va hokazolar geometrik figuralardir. Agar F₁ figura , F₂ figuraning to'plam ostisi bo'lsa, u holda F1 figura F₂ ning qismi bo’ladi.
To'plam va ular orasidagi munosabatni chizmada ko'rsatish uchun geometrik figuralar yordamida chiziladi. Masalan, A to'plam B to'plamning to'plam ostisi ekanligini ko'rsatmoqchi bo'lsak, quyidagicha chizamiz:
Bunday shakllar orqali tasvirlashga EYLER-VENN diagrammalari deyiladi . L.Eyler (1707-1783 yy) shvetsariyalik matematik, Peterburg fanlar Akademiyasi a'zosi. Djon Venn (1834-1923 yy) ingliz matematigi. To'plamlar orasidagi munosabatlar, ular ustida amallarni ko'rsatganda ushbu diagrammalardan foydalaniladi.
Ikkita turlicha to’plamlar o’zaro quyidagicha munosabatlarda bo’lishi mumkin.
asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam

1. 
   
   
   
   2) To’plamlar umumiy elementga ega bo’lmasligi mumkin. Bu hol diagrammada quyidagicha tasvirlanadi.
   To’plamlar umumiy elementlarga ega bo’lishi mumkin. Bu hol EYLER-VENN diagrammasida quyidagicha tasvirlanadi 3) Bir to’plam ikkinchisining to’plam ostisi bo’lishi mumkin.
   

4. 
   Ikki to’plam ustma-ust tushishi mumkin.
   

UNIVERSIAL TO'PLAM

Ba'zan aynan bir olingan to'plamning to'plam ostilarini qarashga to'g'ri keladi. Bunday to'plamga universial to'plam deb aytiladi. Bu to'plam J harfi bilan belgilanadi, Eyler-Venn diagrammalarida universial to'plam to'g'ri to'rtburchak bilan, to'plam ostilari esa doira bilan tasvirlanadi.
Misol: A-oliygohdagi birinchi kurs talabalari to'plami.
B- shu oliygohdagi a'lochi talabalar to'plami C- oliygohdagi sportchi talabalar to'plami.
Oliygohdagi barcha talabalar to'plamini universal to'plam deb olamiz, unda A^J, B^ J, C^J. Bu misolda J - to’plam diagrammada to’g’ri to’rtburchak shaklida tasvirlanib, uning to’plam ostilari doiralar bilan quyidagicha tasvirlanishi mumkun.

Maktab matematika kursida qaraladigan sonlar to’plami orasida haqiqiy sonlar to’plami universial to’plam vazifasini bajaradi.(Tekshirib ko’ring).

TO'PLAMLARNING KESISHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikkita to'plam berilgan bo'lsin: A={a;b;c;d} va B={c;d;e}.A va B to'plamga tegishli bo'lgan umumiy elementlardan iborat yangi P to'plamni tuzamiz. P={c;d} . P to'plam A va B to'plamlarning kesishmasidan iborat.
Ikki to'plamning umumiy elementlaridan tashkil topgan uchinchi to'plamga to'plamlarning kesishmasi deb aytiladi. A ⁿ B deb belgilanadi. Bu erda ⁿ simvoli to'plamlar kesishmasining belgisidir. A ⁿ B to'plamning har qanday x elementi "x ^e A" va "x^e B" xossasiga ega, shunga ko'ra to'plamlar kesishmasini quyidagicha yozish mumkin: A n B={x/xe A va xe B}
Agar A va В to'plamlar umumiy elementga ega bo'lmasa, u holda bu to'plamlar kesishmaydi va A ^ B= 0 deb yoziladi. Masalan, bir xonali va ikki xonali natural sonlar to'plami kesishmaydi.
Agar A va В to'plamlar kamida bitta umumiy elementga ega bo'lsa, bu to'plamlar kesishmasi 0 to'plam bo'lmaydi va A r\ В ^ 0 yoziladi.
Eyler-Venn diagrammasida to'plamlar kesishmasi quyidagicha ifodalanadi:

To'plamlar kesishmasining xossalari:

1. 
   Istalgan A va B to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi kommutativdir, ya'ni A n B=B n A
   
2. 
   Ixtiyoriy A,B,C to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi assotsiativdir.
   

(A n B) n C = A n (B n C)
Bu xossa Aⁿ B ⁿ C ifodani qavssiz yozishga imkon beradi, shuningdek, istalgan sonli to'plam kesishmasini topishda ham xossadan keng foydalaniladi.
Isboti: To'plam osti munosabatining 1- xossasidan foydalanamiz, ya'ni "Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. x^e (A ⁿ B)ⁿ C bo'lsin, kesishma ta'rifiga asosan x ^e Aⁿ B va x^eC; yana bir marotaba to'plamlar kesishmasi ta'rifini qo'llab x e A va xeB, xeC yoki xe A, xeB va xeC ni hosil qilamiz. Bundan xeA va xeBnC, bundan xe An (BnC).Demak, (A n B) n C to'plamning har qanday elementi A n (B n C) to'plamining ham elementi bo'ladi, to'plam osti ta'rifiga ko'ra (A ⁿ B)ⁿ C ^ A ⁿ (B ⁿ C). Xuddi shunga o'xshash A ⁿ (B ⁿ C) ^ (A ⁿ B)ⁿ C ni ham ko'rsatish mumkin. Yuqorida aytilgan to'plam osti munosabati xossasiga ko'ra to'plamlar kesishmasining assotsiativlik xossasi tasdiqlanadi: (A ⁿ B) ⁿ C
= A n (B n C)

3. 
   xossa: Agar A ^ B bo'lsa, u holda A ⁿ B=A. Haqiqatdan ham , agar A­B to'plamning to'plam ostisi bo'lsa, bu to'plamlar orasidagi munosabat Eyler - Venn doirasida quyidagicha tasvirlanadi.
   

A va B ga tegishli elementlar A to'plamning elementlari hisoblanadi, ya'ni A n B=A.

4. 
   xossa: Istalgan A to'plam uchun quyidagi yozuv o’rinli:
   

A^A=A; A^ 0=0; A^J=A; Jn0=0.
TO'PLAMLAR BIRLASHMASI VA UNING XOSSALARI.
Ikki to'plamdan yangi to'plam hosil qilishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz.
Ta'rif: A va B to'plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan to'plamga to'plamlarning birlashmasi deb aytiladi . A va B to'plamlar birlashmasi A ^ B kabi belgilanadi, bu erda ^ simvoli birlashma belgisidir.
Masalan: 1) A={m,n,p,k,l} va B={p,r,s,n} to'plamlarning birlashmasi A^ B={m,n,p,k,l,r,s} dan iborat.

2. 
   A- biror sinfdagi voleybol to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar to'plami: B- shu sinfdagi matematika to'garagiga qatnashuvchi
   

o'quvchilar to'plami. A ^ B to'plamga voleybol yoki matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar kiradi. Bular orasida faqat matematika to'garagiga qatnashuvchi, yoki faqat voleybol to'garagiga qatnashuvchi, yo bo'lmasa, ham voleybol, ham matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar bo'lishi mumkin.
A ^ B to'plamning ixtiyoriy x elementi "x e A yoki xeB" xossaga ega. Ta'rifga asosan to'plamlar birlashmasini quyidagicha yozish mumkin:
A ^ B={x/xe A yoki xe B}
Eyler-Venn diagrammalarida A ^u B quyidagicha tasvirlanadi:

Birlashma amalining xossalari:

1. 
   xossa: To'plamlarning birlashmasi kommutativlik xossasiga ega:
   

A u B=B u A

2. 
   xossa: Ixtiyoriy A,B,C to'plamlarning birlashmasi assotsiativlik
   

xossasiga ega :
(A u B) u C= A u (B u C)
Bu xossa ham kesishma amaliga o'xshash (A^u B)^u C ifodani qavssiz yozish mumkinligini ko'rsatadi, ya'ni A u B u C shaklda yozish mumkin. Isbot: x^e (A ^u B)^u C bo'lsin, ta'rifga asosan, x ^e A ^u B yoki x^e C, bu erdan xe A, yoki xe B yoki xe C. To’plamlar birlashmasi ta’rifiga ko’ra xe A u (B u C)
Demak, (A u B) u C to'plamining har bir elementi A ^u (B ^u C)to'plamining ham elementi bo'lyapti, to'plam osti munosabati ta'rifiga ko'ra
(A u B) u C c A u (B u C) (1)
Xuddi shunday teskarisini ham isbotlash mumkin , ya'ni A u (B u C) c (A u B) u C (2)
Bu (1) va (2) munosabatlarga to'plam ostining 1-xossasini qo'llasak, to'plamlarning tengligi kelib chiqadi, ya'ni (A ^u B)^u C= A ^u (B ^u C)

3. 
   xossa: Agar B ^c A bo'lsa, unda A ^u B=A bo’ladi.
   

Misol: 1) A=Z ; B=N; Z u N=Z 2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={2,4,6,8}, BcA , AuB=A

4. 
   xossa: Istalgan A, B va C to'plamlar uchun quyidagi tengliklar o'rinlidir:
   

1. 
   A u (B n C)=(A u B) n (A u C)
   
2. 
   A n (B u C)=(AnB) u (An C).
   

Bu xossalar distributivlik xossasi deb aytiladi.
Isbot: x^e Aⁿ(B ^u C)bo'lsin. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra x ^e A va xeBuC. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab xeA va xeB yoki x^e A va x^e C hosil bo’ladi. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra xe An B yoki xe A n C. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab x^e (AⁿB) ^u (Aⁿ C). To’plam osti munosabati ta’rifiga ko’ra A n (B u C) c (AnB) u (An C).
Xuddi shunday ko'rsatish mumkinki,
(A n B) u (A n C) c A n (B u C). (2)
To'plam osti munosabatining 1-xossasiga ko'ra
A n (B u C)=(A n B) u (A n C) bo'ladi.

5. 
   xossa: Ixtiyoriy A to'plam uchun quyidagi tengliklar o'rinli:
   

A^A=A; A^0=A; A^J=J; J^0=J. TO'PLAMLARNING AYIRMASI VA UNING XOSSALARI.
Ta'rif: A va B toplamlarning ayirmasi deb, A to'plamning B to'plamga kirmaydigan elementlar to'plamiga aytiladi.
To'plamlar ayirmasi A\B simvoli bilan belgilanadi, ayrim kitoblarda A-B kabi belgilanadi.
Misol: A={a,b,c,d} B={c,d,e,f} To'plamlar ayirmasi A\B={a,b} A\B to'plamining istalgan x elementi "x tegishli A va tegishli emas B" xossasiga ega bo'lgani uchun A va B to'plamlar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin:
A\B={x/x e A va x ^£ B}Eyler - Venn diagrammalarida to'plamlarning ayirmasi quyidagicha tasvirlanadi:
Misol:A={a,b,c,d,e} va B={c,d,e,f} bo'lsin. A/B={a,b} ekanligi ma'lum. B va A to'plamlar ayirmasini topamiz: B/A={f} A/B va B/A to'plamlar birlashmasi (A/B ) ^u ( B/A) = {a,b,f} (1)
ko'rinishda bo'ladi. Endi A u B va A n B ni topamiz.
A ^u B ={a,b,c,d,e,f} A ⁿ B ={c,d,e} bu to'plamlar ayirmasini topamiz : (A u B)/(A n B )={a,b,f} (2)
(1) va (2) ni solishtirib quyidagi tenglikka ega bo'lamiz:
(A/B) u (B/A)= (A u b)/(A n B )
Ta'rif: Ikkita A va B hamda B va A to'plamlar ayirmalarining birlashmasiga simmetrik ayirma deyiladi. U quyidagicha belgilanadi:
A A B=(A/B) u (B/A)
A,B,C to'plamlar uchun quyidagi tenglik o'rinli:

1. 
   A/ (B n C) = (A/B) u (A/C)
   
2. 
   A/ (B u C) = (A/B) n (A/C) = (A/B)/C
   

TO'LDIRUVCHI TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI VA UNING XOSSALARI.
Ta'rif: B to'plam A to'plamning to'plam ostisi bo'lsin.A
to'plamining B ga kirmaydigan elementlar to'plamiga B to'plamini A to'plamiga to'ldiruvchi to'plam ostisi deb aytiladi va B’_A belgilanadi. A-biror sinfdagi o'quvchilar to'plami , B- shu sinfdagi qizlar to'plami bo'lsin B’_A -shu sinfdagi o'g'il bolalar to'plamidan iborat bo'ladi. B’_A - to'ldiruvchi to'plam osti Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlanadi:
Xossalari:
1°(A u B)'=A' n B'
2°(a n b)'=A' u B'
Xossalarning isbotlari o’quvchilarga mustaqil beriladi.
TO'PLAMLARNI O'ZARO KESISHMAYDIGAN SINFLARGA AJRATISH
To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasi matematikada, jumladan, boshlang'ich sinf darsliklarida ham o'z ahamiyatiga ega Bu tushunchaga ta'rif berishdan oldin quyidagi misollarni tahlil qilamiz:
N-natural sonlar to'plami
A-juft natural sonlar to'plami B- toq natural sonlar to'plami bo'lsin.
Ma'lumki, natural sonlar toq va juft natural sonlarga bo'linadi.Bundan kelib chiqadiki, A ^ N va B ^ N.
Bu to'plam ostilar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   A^ 0,B^ 0
   
2. 
   Umumiy elementga ega emas: A ^ B= 0
   
3. 
   
   
   
   В
   
   N
   AUB=N ( chizmaga qarang)
   

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasiga nafaqat matematikada, balki hayotda ham ko'plab misollar keltirish mumkin. Masalan: Yer yuzi xalqlarini qanday belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin? Yer yuzi aholisini biror to'plam sifatida qarasak, ularni quyidagi belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin:
-irqlariga ko'ra;
-tillariga ko'ra;
-jinslariga ko'ra va hokazo.
TA'RIF: Berilgan M to'plam o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1) Hech biror to'plam osti bo'sh bo'lmasa, ya'ni Mi^ 0 bunda i=( 1,... ,k) 2) Istalgan ikkita to'plam osti umumiy elementga ega bo'lmasa, ya'ni Mi ^ Mj =0, i^j
3)Barcha to'plam ostilari birlashganda M to'plamni tashkil etsa, ya'ni M₁ U M₂ U M₃ U ....U M_k = M
Agar berilgan to'plamning har bir elementi bitta va faqat bitta qism to'plamga tushsa, hamma ajratilgan qism to'plamlar birlashmasi butun to'plam bilan mos tushsa, u holda berilan to'plam kesishmaydigan qism to'plamlarga ajratilgan deyiladi.
Agar 1) X₁,X₂ ,...,X_n qism to'plamlar juft-jufti bilan o'zaro kesishmasa; 2) X₁ , X₂ ,...,X_n qism to'plamlarning birlashmasi X to'plam bilan mos tushsa, X to'plam X₁, X₂ ,...,X_n sinflarga ajratilgan hisoblanadi.
Masalan, Uchburchaklarning X to'plamini uchta sinfga ajratish mumkin: O'tkir burchakli, o'tmas burchakli, to'g'ri burchakli
uchburchaklar. Haqiqatdan ham ajratilgan qism to'plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va ularning birlashmasi X to'plamni tashkil etadi.
a) To'plamni unda berilgan 1,2 va 3 ta xossasiga ko'ra sinflarga ajratish mumkin. Buni quyidagi misollarda ko'ramiz:
M- natural sonlar to'plamida "3 ga bo'linish" xossasi berilgan bo'lsin. Bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi. A₁- 3ga bo'linadigan sonlar to'plami A₂- 3 ga bo'linmaydigan sonlar to'plami.
Bu to'plamlar to'plamni sinflarga bo'lish ta'rifidagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni

1. 
   Ai^ 0;A₂^ 0
   
2. 
   Ai^ A₂ =0
   
3. 
   A1UA2=N
   

Demak, agar to'plamda elementlarning biror xossasi berilgan bo'lsa, bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi.
b) To'plam elementlarining ikkita xossasiga ko'ra uni sinflarga bo'lish. Quyidagi misolni qaraymiz.
1) M-uchburchaklar to'plamini " teng yonli bo'lish" va "to'g'ri burchakli bo'lish" xossasiga ko'ra qanday sinflarga ajratish mumkin?
Bu xossalarni qanoatlantiruvchi to'plamlarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlaylik, natijada quyidagi sinflar hosil bo'ladi:

1. 
   teng yonli,to'g'ri burchak bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
2. 
   to'g'ri burchakli,teng yonli bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
3. 
   teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami;
   
4. 
   teng yonli ham emas, to'g'ri burchakli ham bo'lmagan uchbur­chaklar to'plami.
   

2-Misol:Natural sonlar to'plami elementlari uchun " 2 ga karrali" va "5 ga karrali"xossalari berilgan.Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga ajraladi? " 2ga karrali" va "5 ga karrali" xossalariga natural sonlar to'plami quyidagi 4 ta sinfga ajraladi:

1. 
   - 2 ga karrali, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
2. 
   - 5ga karrali, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
3. 
   -5 ga va 2 ga karrali bo'lgan natural sonlar to'plami.
   
4. 
   -5 ga ham 2 ga ham karrali bo'lmagan natural sonlar to'plami.
   

3. 
   -Misol: Uchburchaklar to'plami elementlari orasida quyidagi 2 ta xossa berilgan:" O'tkir burchakli bo'lish", "O'tmas burchakli bo'lish", shu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
   

Bu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami 3 ta

1. 
   o'tkir burchakli uchburchaklar
   
2. 
   o'tmas burchakli uchburchaklar
   

c ) o'tkir va o'tmas burchakli bo'lmagan uchburchaklar to'plamiga ajraladi.

3. 
   -misol:Natural sonlar to'plamida 3 ta xossa:"2ga karrali"; "3 ga karrali";" 5ga karrali" bo'lish xosalari berilgan bo'lsa, to'plam qanday to'plam ostilarga ajraladi?
   

Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami 8 ta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajraladi:
A -to'plam deb 2 ga karrali sonlar to'plamini, B to'plam deb 3 ga karrali sonlar to'plamini , C to'plam deb 5 ga karrali sonlar to'plamini olsak, u holda ular juft-juftlari bilan kesishib quyidagi 8 ta o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajraladi:

1. 
   2 ga ,3 ga,5 ga karrali bo'lgan sonlar.
   
2. 
   2 ga,3 ga karrali bo'lib, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
3. 
   3 ga,5 ga karrali bo'lib, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
4. 
   2 ga, 5 ga karrali bo'lib, 3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
5. 
   2ga karrali bo'lib, 3 ga, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar
   
6. 
   3 ga karrali bo'lib, 2 ga,5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
7. 
   5 ga karrali bo'lib, 2 ga ,3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
8. 
   2 ga,3ga, 5ga karrali bo'lmagan sonlar.
   

To'plamlarni sinflarga ajratish tushunchasi haqida boshlang'ich sinf
o'quvchilariga ham ma'lumot berish mumkin: Masalan, o’zbek
alifbosidagi harflar to'plami unli va undosh sinflarga ajraladi.
Unli va undosh harflar birlashib, alfavitni tashkil qiladi. Boshlang'ich sinf matematika kursida to'plamlarni sinflarga ajratish bo'yicha misollar keltiring.

TAYANCH IBORALAR: Dekart ko'paytma, kortejlar, juftliklar,

komponentlar, dekart ko’paytma xossalari.
Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi ta'rifini berishdan oldin tartiblangan juftlik tushunchasi bilan tanishib chiqishimiz kerak. Buning uchun 42 sonini olib ko'raylik. Bu son 4 va 2 raqamlari yordamida yoziladi. Bu raqamlar tartiblangan holda oldin 4 raqami , so'ngra 2 soni yoziladi. Agar ularning o'rinlari almashtirilsa , u holda boshqa son 24 soni hosil bo'ladi. Demak, (4,2) bu tartiblangan juftlikdir. Umuman x va y sonlaridan iborat tartiblangan juftlikni (x,y) deb belgilaymiz. 33 sonida 2 ta bir xil raqam qatnashayapti, Bu raqamlar (3,3) tartiblangan juftlikni ifodalaydi. Shu qatordagi tartiblangan juftlikda son takrorlanib kelishi ham mumkin. Tartiblangan juftliklarni faqat sonlardangina emas, balki istalgan to'plam elementlaridan tuzish mumkin. X-to'plam berilgan bo'lsin. x va y- lar shu to'plamning elementlari. (x,y)ga tartiblangan juftlik deb aytiladi. x-ga bu juftlikning birinchi komponenti (koordinatasi) , y - ga bu juftlikning ikkinchi komponenti (koordinatasi) deb aytiladi.
Faqat va faqatgina x₁=x₂ va y₁=y₂ bo'lganda (x₁,y₁) va (x₂,y₂)
tartiblangan juftliklar ustma ust tushuvchi juftliklar deb aytiladi. Shuning uchun x ^ ybo’lganda (x,y) va (y,x) juftliklar turlicha juftliklardir.
Masalan: X={a,b,c} to'plam elementlaridan 9 ta tartiblangan juftliklarni tuzish mumkin: (a,a), (a,b),(a,c), (b,b),(b,a), (b,c), (c,a), (c,b),(c,c). Tartiblangan juftlik tushunchasi yanada tushunarliroq bo'lishi uchun bu juftlik komponentlarini turli to'plamlardan olish etarli. Masalan, x element X to'plamdan ( to'plamning elementi istalgan ob'ekt bo'lishi mumkin) y element Y to'plamdan olinsa, tushunish oson bo'ladi. X={a,b,c,d}, Y={4,5} to'plamlar berilgan bo'lsa, bu to'plamlarning elementlaridan foydalanib juftliklar to'plamini tuzish talab qilinsa- ki, bu
juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan, 2- komponenti Y to'plamdan tashkil topsin:
{ (a,4), (a,5), (b,4), (b,5), (c,4), (c,5), (d,4), (d,5)}.
Bu to'plamga berilgan X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va XxY kabi belgilanadi. Umuman olganda X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb , shunday (x,y) juftliklar to'plamiga aytiladi, bu juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan , ikkinchi komponenti Y to'plamdan olingan bo'lsa ya'ni:
XxY={(x,y)/ x ^e X va ye Y}.
Agar X va Y to'plamlar ustma- ust tushsa ya'ni X=Y bo'lsa , u holda XxX to'plam , shunday (x,y) juftliklar to'plamidan iboratki, x^e X, y^e X.Masalan, X={m,n,p} u holda X =XxX={(m,m), (m,n), (m,p), (n,m), (n,n), (n,p), (p,m), (p,n), (p,p)}.
Istalgan X to'plam uchun Xx0=0xX=0 o'rinli.
To'plamlarning dekart ko'paytmasi kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega emas:

1. 
   Agar X ^ Y bo'lsa, u holda XxY ^ YxX
   
2. 
   Agar X,Y,Z^ 0 bo'lsa , u holda (XxY)x Z^Xx(YxZ)
   

Haqiqatdan ham, XxY to'plam o'z ichiga shunday (x,y) juftliklarni olganki, x^e X, y^e Y, lekin YxX to'plam esa (y,x) ko'rinishidagi juftliklarni o'z ichiga olgan bo'lib, y^e Y, x^eX. X^Y da (x,y) va (y,x) tartiblangan juftliklar turlicha juftliklardir.
Shuning uchun X ^ Y da XxY, YxX to'plamlar turlichadir. Ikki chekli to'plam dekart ko'paytmasi elementlarini jadval usulida berish mumkin.
Bu jadvalda vertikal bo'yicha X to'plam elementlari gorizontal bo'yicha Y to'plam elementlari yoziladi. XxY to'plam elementlari esa bu qatorlar kesishmasida yoziladi. To’plamlar cheksiz bo’lgan taqdirda ularning dekart ko’paytmasini to’g’ri burchakli dekart koordinata sistemasida tasvirlash qulaydir.
BIR NECHTA TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI. Kortej tushunchasidan foydalanib, n- ta to'plam dekart ko'paytmasi ta'rifini berish mumkin A_bA₂,....A_n - n ta to'plam berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlaridan uzunligi n ga teng bo'lgan kortejlarni tuzamiz. Bu kortej larning birinchi komponenti A₁ to'plamga, ikkinchisi A₂ to'plamga va hokazo. n - si A_n to'plamda yotadi. Kortejlarning bunday ko'rinishiga A₁,A₂, ...A_n to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va u
A₁x xA_n deb belgilanadi. Masalan, A₁={ 1,2}, A₂={3,4}, A₃={5,6}
to'plamlar berilgan. Bu to'plamlarning dekart ko'paytmasi A₁xA₂xA₃ ni toping.
A1xA2xA3= {(1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6)}
Boshlang'ich sinflarda o'quvchilar quyidagi masalani echadilar: "1,2, va3 raqamlaridan foydalanib, mumkin bo'lgan barcha ikki xonali sonlarni yozing". Bir ko'rib chiqish bilan o'quvchilar quyidagi tushunchaga ega bo'ladilar:

Hosil bo'lgan har bir sonning yozuvi son bilan , ikkita raqamdan iborat, bunda ularning kelish tartibi muhimdir. Masalan, 12 va 21 sonlari hosil qilingan , bular 1 va 2 raqamlaridan tuzilgan.

To'plam elementlarining kelish tartibi muhim bo'lgan hamda, matematikada elementlarning tartiblangan juftliklari haqida gap boradi.
Mazkur masalada biz tartiblangan juftliklar bilan ish ko'ramiz. Masalan,11, 22, 33 sonlarni "(1,1), (2,2), (3,3)" tartiblangan juftliklar sifatida qarash mumkin.
Boshlang'ich sinflarda mana shunday masalalar ko'p uchraydi.

1. 
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977.

1. 
   А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975.
   
2. 
   Н.Я.Виленкин. Индукция. Комбинаторика. М. «Просвещение». 1976.
   
3. 
   А.Худойберганов. Математика. Т. «Укитувчи», 1980.
   
4. 
   Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Т.
   

«У китувчи», 1995.