1 Bob Kompton effektining nazariyasi

1.1.5-chizma. Kompton effektining nazariyasiga doir.

Fotonning erkin elektronlar bilan to'qnashishi elastik zarb , qonuniga bo'ysunadi deb hisoblaylik, u holda to'qnashayotgan zarrachalarning energiyasi va impulsi o'zgarmasligi kerak. To’qnashish natijasida biz dastlab tinch turgan deb hisoblagan elektron malum tezlikka, demak shunga mos energiya va impulsiga ega bo'ladi, foton esa harakat yo'nalishini o'zgartiradi (sochiladi) va o'z energiyasini kamaytiradi (uning chastotasi kamayadi, ya'ni to'lqin uzunligi ortadi).

Energiyaning saqlanish tenglamasini tuzganda elektron massasini tezlikka bog’liq bo'lishini hisobga olish kerak, chunki elektronning to'qnashuvidan keyingi tezligi katta bo'lishi mumkin. Shuning uchun elektronning kinetik energiyasi uning to'qnashuvidan oldingi va keyingi energiyalarining ayirmasiga teng bo'ladi:

^Ekin = ^mc2 - ^mo^c2 (1.1.5)

Bu yerda m₀ -tinch yotgan elektronning massasi (chunki sochuvchi moddadagi elektronning tezligidan juda kam),

л/^{1 — p}

Sochilish natijasida katta v tezlikka ega bo'lgan elektronning massasi bunda

^p ga teng:

m₀c

^mo<sup>c 2(

E</sup>kin

mc

m_Qc

mc

V^{1 -p}

8‘

2

1 T 1 T 3 9

) = ШоА-f ₊ -/ +...) (1.1.7)

Agar p birdan juda kichik bo'lib, p' va undan yuqori darajali hadlarni hisobga olmaslik mumkin bo'lsa, unda formula (1.1.8) ko'rinishga keladi, ya'ni klassik mexanikaning oddiy formulasiga aylanadi.

E _u„ = 1 m, c p² = 1 m, v² (1.1.8)

Shunday qilib energiyani saqlanish sharti,

Hu + mc² = Hu' + mc² (1.1.9)

ko'rinishda impulsning saqlanish sharti esa

H и

m =

c ²

formula (1.1.5-chizmaga) asosan,

. ,Ho.₂ Hu\ ₂ 2Н²

(mv) = ( ) + ( ) — oo' cos6 (1.1.10)

c c c

ko'rinishda yoziladi (1.1.9)tenglamani,

m²c⁴ = H²o² + H²o'² - 2H²o W + m₀²c⁴ + 2Hm₀c²(o W) (1.1.11)

ko'rinishda yozib undan (1.1.10) ni ayirib (avval bu tenglikning hamma hadlarini umumiy maxrajga keltirish kerak)

m²c²(c² -v²) = m₀²c⁴ -2H²o w'(1-cos#) + 2Hm₀c²(o o') (1.1.12)

tenglamani topamiz. Ma'lumki,

m₀²c⁴ = m²c² (c² - v²) (1.1.13)

shuning uchun oldingi tenglama,

Hoo'(1 - cos#) = m₀c ²(o-o') (1.1.14)

ko'rinishda yoziladi. Chastotaning o'rniga to'lqin uzunligini kiritib, ya'ni

o = ^— ,o' = — (1.1.15)

Л Л ^{V J}

munosabatlardan foydalanib, Ao = (o-o') va АЛ = (Л-Л) belgilarni kiritib,

^H—- (1 - cos#) = m₀c^{2 сАЛ} (1.1.16)

Л Л ⁰ ЛЛ' ^v '

tenglamani topamiz, undan esa quyidagi natijaviy ifodani topamiz:

л 1 Н , 2Н . ₂ 1 AX = (1 - cos#) = sin — в


(1.1.17)
mc mc 2

Biz topgan (1.1.16) formula Kompton hodisasi qonunini aniqlaydigan (1.1.9) formula bilan bir xil. Haqiqatdan ham Н,m₀, c laming son qiymatlarini

Н

qo'ysak, kuzatishlarga mos ravishda — = 0.02424A ekanligini topamiz. Quyidagi

mc

jadvalni tajriba natijalari nazariya bilan yaxshi mos tushushini ko'rsatadi.

1.1.1-jadval. Tajriba natijalari nazariya bilan mos kelishi.

в	AX	AX	,^X
72°	0.0168	0.0170	0.708	Grafit
90°	0.0243	0.0241	0.708	Grafit
110°	0.0345	0.0350
160°	0.0469	0.0470
170°	0.0480	0.0482	0.708	Parafin

Dastlabki nazariyada modda ichidagi elektronlar erkin deb hisoblangan edi. Haqiqatdan ham elektronlarning atomga bog'langanini hisobga olish va energiya balansini hisoblaganda, bir tomondan, elektronni atomdan ajratish uchun sarflangan ishni , ikkinchi tomondan esa atomning o'zini harakatlantirishda sarflangan energiyani hisobga olish kerak. Bu shartlarni hisobga olish Kompton hodisasida tafsilotlarni, xususan siljimagan chiziqning (elektron atomdan ajralmagan hol uchun) mavjudligini hamda siljigan va siljimagan chiziqlar intensivliklari o'rtasidagi munosabatni tushunishga yordam beradi. Bunday umumiy hol ko'rilganda to'lqin uzunligini o zgarishi birlamchi to lqinning uzunligiga bog'liq bo'lishi ham , sochuvchi jism materialning ta'siri ham bilinadi. Tajribaga taqqoslangan bu umumiy nazariya tasdiqlandi.

Yorug'likning sochilishida to'lqin uzunligini o'zgarishini, to'lqin nazariyasi nuqtai nazaridan Dopller hodisasi yordamida izohlab berish mumkin edi. Rentgen nurlarini sochayotgan elektronlar bu nurlar ta'sirida atomlardan turli yo'nalishlar bo'yicha har xil tezliklar bilan uchib chiqadi. Shunday qilib sochilgan nurlarning to'lqin uzunligi sochuvchi elektronlarning tezligi va harakat yo'nalishlariga bog'liq ravishda o'zgarishi kerak. Sochuvchi elektronlarning qanday harakat qilishini hisoblab chiqib , Kompton hodisasining klassik nazariyasini yaratish qiyin emas.

Rentgen nurlarini sochilishi natijasida ancha katta tezlikka ega bo'lgan elektronlarning harakati bevosita tajribada kuzatish mumkin. Shu maqsadda Vil'son kamerasi yordamida tekshirishlar qilingan bo'lib , bu kamera sochilgan nurlarning yo'nalishini ham Rentgen nurlarining sochilishida urib chiqarilgan elektronlarning (,, tepki’’ elektronlarining) harakat yo’nalishini ham ko'rsatadi. Elektronlarning yo'lida ham , sochilgan rentgen nurlarining yo'lida ham ionlar paydo bo'lib, bu ionlarda suv bug'i kondensatsiyalanadi, natijada yo'llar ko'rinadigan bo'lib qoladi.

Kompton effektining klassik nazariyasi nuqtai nazaridan Dopller effekti yordamida izohlash uchun zarur bo'lgan elektron va sochilgan nurlarning bir- biriga nisbatan yo'nalishlarini hisoblash mumkin ekanligini oldin aytib o'tgan edik. Ikkinchi tomondan, elektron va fotonlar yo'nalishlarini bunday taqsimotini elastik to'qnashishlar nazariyasi bo'yicha ham hisoblab topish mumkin. Bu ikki xil nuqtai nazar har xil natijalar beradi.

O’tkazilgan tajribalar hodisaning kvant nazariyasi to’g’ri ekanligini tasdiqlaydi, shuning uchun hodisaning Doppler effekti yordamida izohlanishi qoniqarsiz deb topish zarur bo’ladi. Kompton tajribasida fotonlarning bir qismi atomlarning ichiga kirib borishi ular bilan ichki elektronlar to'qnashuvi ro'y berishi mumkin. Shunday qilib, Kompton hodisasi fotoeffektning asosiy qonunlari singari fotonlar haqidagi tasavvurni tasdiqlaydi.

2. 
   Zarrachalarning elastik sochilishi.
   

Zaryadlangan zarralaming moddadan o’tganida ro’y beradigan eng muhum hodisalardan biri-bir zarrachaning ikkinchisida elastik sochilishidir. Ikkita zarrachaning elastik sochilishi deb, zarrachalarning shunday to’qnashish prossesiga aytiladiki, bunda zarrachalarning umumiy kinetik energiyasi o’zgarmagani holda, qayta taqsimlanadi va ularning harakat yo’nalishi o’zgaradi. Elementar zarrachalar biri ikkinchisida yoki kulon maydonida, yoki yadro maydonida sochilishlari mumkin. Zarrachalar kulon maydonida sochilganda kulon maydonining kuchlari ta’siri ostida sochiladi, yadro maydonida sochilganda esa yadro maydonining kuchlari ta’siri ostida sochiladi. Shuning uchun ham kam energiyali zaryadlangan zarrachalar asosan kulon maydonida sochiladi. Chunki yadro maydonida sochilishga ulgurmaydi. Yuqori energiyali zaryadlangan zarrachalar asosan yadro maydonida sochiladi. Chunki yuqori energiyali zarrachalar kulon maydonini yengib, yadro maydonigacha yetib boradi. Zaryadlanmagan zarrachalar esa kulon maydonida sochila olmaydi, shuning uchun ular faqat yadro maydonida sochiladi.

Zarrachalarning sochilish xarakteri, kulon maydonida sochiladimi yoki yadro maydonida sochiladimi, bundan qat’iy nazar, klassik fizikada urulish parametri p bilan, kvant mexanikasida esa orbital kvant soni l bilan belgilanadi. Ma’lum parametri p = p₁ kichik bo’lsa, shu zarracha katta burchakka sochiladi (aksincha urulish parametri p = p₂ katta bo’lgan zarrachalar kichik burchakka sochiladi.

Zarrachalar orasidagi Kulon kuchlari yoki gravitatsion kuchlar uzoqdan ta’sirlashish kuchlari deyiladi. Bunday kuchlar uchun urulish parametri istalgancha katta bo’lishi mumkin. Zarrachalar orasidagi yadro kuchlari esa yaqindan ta’sirlashish kuchlari deyiladi. Bunday kuchlar uchun esa zarrachalarning o’zaro effektiv ta’sirlashish uchun ularning urulish parametri yadro maydonining ta’sirlanish doirasi radiusi a dan kichik bo’lishi kerak (pKvant mexanikasiga asosan urulish parametri p ning qiymati quyidagi shart

bilan chegaralangan bo’ladi. Bu formuladagi l harakat miqdorining momenti deb atalib, u 0, 1, 2 va h.k. qiymatlarni qabul qiladi. Ma’lumki, klassik fizikada harakat miqdorining momenti I, urulish parametri p ning impuls p ga ko’paytmasi bilan aniqlanadi:

; — ⁽¹²²⁾

Kvant mexanikasida esa harakat miqdorining momenti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

; = .^:ц - 1) (1.2.3)

Agar (1.2.2) va (1.2.3) formulalarni solishtirsak, (1.2.1) formulaga kelamiz. (eslatib o’tamiz: bunday solishtirish bir oz noo’rindir, chunki kvant mexanikasida bir vaqtning o’zida ham impuls p ni, ham urulish parametri p ni o’lchash mumkin emas.) Zarrachaning impulsi qanchalik kam bo’lsa (yoki u qanchalik sekin harakat qilsa), orbital kvant soni I ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarining soni shunchalik kamayib ketadi. Demak, urulish parametri p ning qabul qiladigan qiymatlarining soni ham cheksiz kamayib ketadi.

Zarrachalarning o’zaro sochilishini klassik fizika nuqtai nazaridan Rezerford birinchi marta chuqur o’rgandi.

(1.2.4)



2



ZZe^z\ dD.

mv^z J Asi-n^ —

yoki
(1.2.5)

Bu formulalar 1911-yilda a-zarrachalarning og’ir yadrolarda sochilish protsessini o’rganish paytida Rezerford tomonidan qo’llanilgan bo’lib, uni Rezerford formulalari deyiladi. Ma’lumki, a-zarrachalarning zaryadi 2 ga teng (Z=2). Bunday xususiy hol uchun (1.2.5) formulani quyidagicha o’zgartirib yozish mumkin:







d£ = ndv (1.2.6)

Rezerfordning bu tajribalarida a-zarrachalar ba’zan juda katta burchakka sochilgan, ba’zi hollarda a-zarrachalaming sochilish burchaklari 180° ga yetgan. Ma’lumki, o’sha vaqtda atomning ikki xil modeli mavjud bo’lgan. Atomning birinchi xil modelida musbat zaryadlar atomning hamma qismida bir xil “zichlikka” ega deb faraz qilingan. Bu musbat zaryadlar atomning hamma qismiga bir xil tarqalgan degan so’zdir. Atomda musbat zaryadlar qanday tarqalgan bo’lsa, manfiy zaryadlar ham shunday tarqalgan. Shuning uchun umuman olganda atom neytral holatda bo’lgan. Atomning ikkinchi modelida atom quyidagi ko’ rinishga ega deb faraz qilingan, atomning markaziga uning asosiy massasi-yadrosi joylashgan. Atomning yadrosi musbat zaryadga ega. Yadro atrofida manfiy zaryadga ega bo’lgan zarrachalar (hozirda bu zarrachalar elektronlar deb ataladi) doiraviy orbita bo’ylab harakat qilib turadi. Ko’rinib turibdiki, bu modelda ham atom neytral holatda bo’ladi.

Lekin atomning birinchi modeli bo’yicha a-zarrachalar atomlarda katta burchakka sochilishi mumkin emas. a- zarrachalarning katta burchaklarga sochilishi faqat atomning ikkinchi modelidagina mumkindir. Rezerford o’z

formulasini atomning ikkinchi modeli asosida topgan. Bu (1.2.6) formulaga tajribada o’lchash mumkin bo’lgan kattaliklar kiritilgan. Shuning uchun, Rezerford formulasini ham, atomning yadro modelini ham tajribada to’g’ri yoki noto’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin. Masalan, intensivligi N va tezligi v bo’lgan a-zarrachalar ma’lum bir nishonda sochilganda (bunda n va Z ma’lum deb faraz qilinadi). Rezerford formulasidagi ikkita kattalik, ya’ni dN va 0 largina o’zgaruvchan bo’lib qoladi. Agar 0 o’zgaruvchan bo’lib qolsa, fazoviy burchak dQ ham o’zgaruvchan bo’lib qolishi o’z-o’zidan ma’lumdir. Rezerford formulasidagi shu o’zgaruvchan (dN, 0, dQ) kattaliklarni tenglikning chap tomoniga yig’amiz, u holda

n 7 £У^

^L*sin⁴- = Nn(—-)² (1.2.7)

2 mv²

Bu formulaning o’ng tomonida ma’lum qiymatga ega bo’lgan o’zgarmas kattaliklar joylashgan. Masalan, N-a-zarrachalarning intensivligi, n- nishon moddada yadrolarning konsentratsiyasi, Ze-shu yadrolarning zaryadi, e elektronning zaryadi, m va v-a-zarrachalarning massasi va tezligi. Shuning uchun

^ sin⁴ ^ = const (1.2.8)

bo’ladi.

Bu formulaning to’g’riligini tajribada tekshirish juda ham osondir. Geyger va Marsdenlar tomonidan o’tkazilgan tekshirish bu formulaning to’g’riligini va bu

8. 
   formulani chiqarishda asos qilib olingan atomning yadro modeli to’g’riligini isbot qildi.Rezerford formulasi yordamida biz atom yadrosining zaryadini to’g’ridan-to’g’ri aniqlashimiz mumkin. Chunki bu formula yordamida yadro zaryadining qiymati Z ni shu yadroda zarrachalarning sochilish burchaklari bilan solishtirib ko’rishimiz mumkin.Biz yuqorida bir zarrachaning ikkinchisida
   
9. 
   sochilish protsessini ko’rib chiqdik. Lekin harakatdagi zarracha moddaga kirib borganda, sochiltiruvchi zarracha bitta emas, balki juda ko’pdir. Shuning uchun ham birlamchi zarracha birinchi sochiltiruvchi zarrachada sochilgandan keyin, albatta ikkinchi zarrachada, uchinchi zarrachada, to’rtinchi va h.k., zarrachalarda sochilishi mumkin. Zarrachalarning bunday sochilish protsessi zanjiriga zarrachalarning ko’p karrali sochilishi deyiladi.
   

3. 
   Kompton effektining kvant nazariyasi.
   

Plank nurlanish qonunlarini o'rganayotib , absolyut qora jismning spektral zichligi uchun tajribalarda tasdiqlanuvchi formula bilan aniqlanadi:

U (a, T) = ^hal (U.¹)

7Г²С^Ъ(в^кт - 1)

Bu yerda c-yorug'likning vakuumdagi tezligi k-Bolsman doimiysi

a -yorug'lik to'lqinining siklik chastotasi h -Plank doimiysini 2n ga nisbati h = 1,054 • 10^-34 js -absolyut temperatura

Keyinchalik malum bo'ldiki, agar yorug'likni modda bilan ta'sirini faraz qilinsa, mumkin atom tomonidan sochilishda, yutulishda va nurlanishda yorug'lik kvanti (foton ) o'zini o'rnini zarradek tutadi. Eynshteyn tomonidan aniqlangan massa va energiya orasidagi bog'lanish E = mc² ga asosan , E = ha ga energiyaga ega bo'lgan foton:

ha

m =

c

(1.3.2)

massaga ega bo'lishi kerak.

Xuddi shunday foton impulsga ega bo'lib, uning qiymati:

ha

P = mc = = hk (13 3)

c

ifodadan topiladi. Bu yerda k - to'lqin vektorini uzunligi. U yorug'lik tarqalish yo'nalishi bo'ylab yo'nalgan. Demak,

E = cP (1.3.4)

va fotonning tinchlikdagi massasi relyativistik zarra uchun energiyasi ifodasi:

E = cVP² + m оc² (1.3.5)

ga asosan 0 ga teng bo'lishi lozim.

Fotonlarning mikrozarrachalar bilan o'zaro ta'sirini o'rganayotganda ularni nuqtaviy zarrachalar deb qarab, energiya va impulsning saqlanish qonunlarini qo'llash mumkin:

ha + E = ha +E (1.3.6)

—► —» —► —» hk + P = hk' + P ' (1.3.7)

Bu yerda E, E' - mikrozarrachaning boshlang'ich va oxirgi enegiyalari,

P,P '- uning boshlang'ich va oxirgi impulslari, hk,hk' va ha,ha - fotonning mos ravishdagi impuls va energiyalari.

Aks holda , shaffof plastinka orqali monoxramatik yorug'lik o'tganda tushuvchi, qaytuvchi va singan to'lqinlar turli ranglarda bo'ladi a' = 0 bunda

ha + E = E ' deb (1.3.6) tenglamaga asosan fotoeffektni tushuntirish mumkin. Agar H - chiqish ishi bo'lsa, u holda metall ichidagi elektron energiyasini H deb quyidagiga ega bo'lamiz:

ha-H = ^mv2 (1.3.8)

Eynshteyn formulasi bu yerda — fotoelektronning kinetik energiyasi

elektronlar v potensialga ega bo'lgan elektromagnit , maydonda tormozlanayotgan bo'lsin , u holda:

■^mv2 = ev (1.3.9)

8. 
   ni qo'llab,
   

v = —-^H (1.3.10)

e e

ga ega bo'lamiz.

Elektron massasi va energiyasini bog'lovchi E = mc² formulani va impulsni saqlanish qonuni qo'llab, sochilgan foton chastotasining sochilish burchagi в ga bog'likligini topamiz.

P = 0 da(1.3.2) va (1.3.8) tenglamalar quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

(1.3.11)
2 ± r m₀c²

ha + mc = ha +

(1.3.12)

2

v

_tr _t T> m₀v hk = hk +■

c

Rentgen nurlanish fotonlarning energiyasi katta va elektronlar ular bilan to'qnashganda katta tezliklar olishi mumkinligidan:

2

(1.3.13)

2
h²(k² -2kk'cos# + k'²) = ■