1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

Yechilishi: Dastlab, berilgan sistema birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiramiz. Buning uchun Kroneker – Kapelli teoremasidan foydalanib, bir jinsli bo‘lmagan sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglarini topamiz. Bu matritsalarning ranglarini topish uchun ularni elementar almashtirishlar yordami bilan zinasimon matritsa ko‘rinishiga keltiramiz:

Bundan va bo‘lgani uchun berilgan sistema Kroneker – Kapelli teoremasiga ko‘ra cheksiz ko‘p yechimga ega. Demak, bu sistemaning umumiy yechimi va fundamental yechimlar sistemasi mavjud. Bu yechimlarni topish uchun biz quyidagi xossadan foydalanamiz.

Xossa. (8.2) sistemaning umumiy yechimini (8.1) sistemaning umumiy yechimi va (8.2) sistemaning qandaydir bitta xususiy yechimi yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin.

Shuning uchun dastlab, berilgan bir jinsli bo‘lmagan sistemaning birorta xususiy yechimini topamiz. Buning uchun oxirgi hosil qilingan matritsadan quyidagi sistemani yozamiz:

Bu sistemadagi noma’lumlardan ixtiyoriy ikkitasiga istalgan qiymatni berib, masalan, bo‘lsin. U holda

Demak, biz izlagan xususiy yechim dan iborat.

Endi berilgan sistemaga mos bir jinsli sistemasining umumiy yechimi va fundamental yechimlar sistemasini topamiz.

bo‘lgani uchun oxirgi hosil qilingan matritsaning birorta noldan farqli bo‘lgan ikkinchi tartibli minori, masalan ni tanlaymiz. Bu minorning birinchi va ikkinchi ustunlari mos ravishda matritsaning va o‘zgaruvchilari ustunlariga mos kelgani uchun bu o‘zgaruvchilar bazis o‘zgaruvchilar, qolgan va lar esa ozod o‘zgaruvchilar bo‘ladi. Mos ravishda hosil qilingan matritsadan sistemani yozamiz:

Bu sistemadan va o‘zgaruvchilarini topish uchun sistemaning birinchi tenglamasini ga, ikkinchi tenglamasini esa ga ko‘paytirib mos ravishda qo‘shsak, u holda ga ega bo‘lamiz va bu tenglikni sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yib ni hosil qilamiz. Agar ozod o‘zgaruvchilarga va deb belgilash kiritsak, u holda bir jinsli sistemaning umumiy yechimi , fundamental yechimlar sistemasi va lar quyidagicha bo‘ladi:

, va .

Bundan yuqorida aytib o‘tilgan xossaga ko‘ra bir jinsli bo‘lmagan sistemaning umumiy yechimi , fundamental yechimlar sistemasi va lar quyidagicha bo‘ladi:

, va .

Umumiy yechimning fundamental yechimlar sistemasi orqali chiziqli kombinatsiyasi esa , .