1. Aniq integral tushunchasi

Yuqori chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan (5) aniq integralni hisoblashning Nyuton –Leybnis usuli quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(8)
Shuningdek, quyi chegarasi o`zgaruvchidan iborat bo`lgan aniq integral ifodasi esa quyidagicha bo`ladi:
(9)
aniq integralni hisoblashda quyidagi bosqich ishlari ketma – ket bajariladi:

1. 
   Quyidagi aniqmas integral topiladi:
   

2. 
   ning dagi qiymati topiladi, ya`ni
   
3. 
   ning dagi qiymati hisoblanadi, ya`ni
   
4. 
   ayirama topiladi.
   

1-misol. integralni hisoblang.
Yechilishi: Bunda va .

1. 
   Aniqmas integral ni hisoblaymiz:
   

2. 
   ni topamiz:
   

3. 
   ni topamiz:
   

4. 
   
   

Demak,


2-misol. Hisoblang: .
Yechilishi: Integralni hisoblashni yuqoridagi bosqichlar asosida, ya`ni (7) formulani qo`llash orqali bajaramiz:

3-misol. Integralni hisoblang:
Yechilishi: Aniq integralning 3- xossasiga asosan berilgan integralni ikki qismga ajratamiz va Nyuton –Leybnis formulasidan foydalanib, hisoblaymiz:

Mustaqil yechish uchun mashqlar.
№1. №7.
№2. №8.
№3. №9.
№4. №10.
№5. №11.
№6. №12.


O`rta qiymat haqidagi teorema
Teorema. Agar funksiya kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda, shu kesmada shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun
(1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati va eng kichik qiymati bo`lsin, ya`ni
. (2)
da (2) tengsizlikni integrallaymiz:

Bundan, (3)
(3)ni ga hadma – had bo`lamiz:
. (4)
Berilgan funksiya da uzluksiz bo`lganligi uchun qo`yi va yuqori chegara oralig`idagi (ya`ni [ , ]) istalgan qiymatni qabul qiladi. U holda, da shunday nuqta mavjud bo`ladiki, bo`lishini ta`minlaydi. Bu esa (1) formuladan iborat. Teorema isbot bo`ldi.