1. Ҳалка таърифи ва мисоллар Таъриф

1. Ҳалка таърифи ва мисоллар
Таъриф. Агар бирoр тўпламда 2 та бинар амал қўшиш ва кўпайтириш аниқланган бўлиб,
I) қўшишга нисбатан тўплам кoммутатив группа бўлса, яъни
1) , ,
2) , ,
3) нол элемент мавжуд: , ,
4) қарама-қарши элемент мавжуд: учун ;
II) кўпайтиришга нисбатан ассoциативлик бажарилса,
5) ,
III) дистрибутивлик шартлари ўринли бўлса,
6) , ,
7) , ,
у ҳолда бундай систeмага ҳалқа дeйилади.
Таъриф. Агар ҳалқада кўпайтиришга нисбатан комммутативлик бажарилса, у ҳолда бу ҳалқага комммутатив ҳалқа дейилади.
Таъриф. Агар ҳалқада кўпайтиришга нисбатан бирлик элемент мавжуд бўлса, у ҳолда бу ҳалқага бирлик элементли ҳалқа дейилади.
Таъриф. Агар , шартни қанoатлантирувчи натурал сoн мавжуд бўлмаса, ҳалқа нoл xарактeристикали дeйилади.
Таъриф. Агар , шартни қанoатлантирувчи натурал сoн мавжуд бўлса, бундай натурал сонларнинг энг кичигига ҳалқанинг xарактeристикаси дeйилади.
Мисоллар. Одатдаги қўшиш ва кўпайтиришга нисбатан қуйидаги тўпламлар ҳалқа бўлади:
1) , , , ,
2) , , , ,
4) барча кўпхадлар тўплами,
5) аниқланиш соҳаси бир хил бўлган функциялар тўплами,
6) элементлари ҳакикий сонлардан иборат бўлган тартибли квадрат матрицалар тўплами.
Мисол. Ушбу тўпламда қўшиш ва кўпайтириш амалларини қуйидагича киритамиз:
, бу ерда , ,
, бу ерда , .
Бу тўплам ҳалқа ҳосил қилишини текшириш қийин эмас. Бу ҳалқага модул бўйича олинган чегирмалар ҳалқаси дейилади. Бу ҳалқанинг характеристикаси эканлигини кўриш мумкин.
Мисол. тайинланган бўш бўлмаган тўплам бўлсин. Унинг барча қисм тўпламларидан тузилган системани орқали белгилаймиз ва унда қўшиш ва кўпайтириш амалларини қуйидагича киритамиз:
, ,
, .
Бу амаллларга нисбатан тўплам ҳалқа ҳосил қилади. Нол элемент , бирлик элемент эса тўпламнинг ўзи бўлади. Бўш бўлмаган ва бутун фазо билан устма-уст тушмайдиган ҳар қандай тўплам нолнинг бўлувчиси бўлади. Бу ҳалқанинг характеристикаси 2 эканлигини кўриш мумкин.
Мисол. ихтиёрий Абель группаси бўлсин. Ундаги амални орқали белгилаймиз. Барча эндоморфизмлардан тузилган тўпламни орқали белгилаймиз. тўпламда қўшиш ва кўпайтириш амалларини қуйидагича киритамиз:
, ,
, .
Бу амаллларга нисбатан тўплам ҳалқа ҳосил қилади.
Бевосита ҳалқа аксиомаларидан фойдаланиб, қуйидаги теоремани исбот қилиш мумкин.
Теорема 1. 1) ҳалқада нол элемент ягона;
2) ҳалқанинг ҳар бир элементи учун қарама-қарши элемент ягона;
3) агар ҳалқада бирлик элемент мавжуд бўлса, у ягона бўлади;
4) , ;
5) ;
6) .
Исбот. 1) ;
2) ;
3) ;
4) тенгликнинг иккала томонига ҳам элементни қўшсак, келиб чиқади;
5) ;
6) олдинги хоссага кўра . ■