1. Ҳалка таърифи ва мисоллар Таъриф

Таъриф. Ўзи нoл бўлмаган, аммo бирoр нoлмас элeмeнтга кўпайтмаси нoл бўлган элeмeнтга нoлнинг бўлувчиси дeйилади, яъни агар элемент учун элемент топилиб, ёки бўлса, у ҳолда элементга нолнинг бўлувчиси дейилади.
Мисоллар. 1) 6 га бўлгандаги қолдиқлар синфларидан тузилган ҳалқани кўриб чиқамиз . Бу ҳалқада бўлгани учун ҳам ҳам нолнинг бўлувчиси бўлади.
2) ва матрицалар учун бўлади. Бунга кўра матрица ҳам, матрица ҳам нолнинг бўлувчиси бўлади.
3) Ҳақиқий ўқда аниқланган ушбу
,
функцияларни кўриб чиқамиз. бўлган учун бу функциялар нолнинг бўлувчиси бўлади.
4) тўплам қуйидаги
,

қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан бирлик элементли, коммутатив ҳалқа бўлиши равшан. Бу ҳалқада бўлгани учун координата ўкларида ётган нолдан фарқли ҳар бир элемент нолнинг бўлувчиси бўлади.


2. Қисм ҳалқа ва мисоллар
Таъриф. Агар ҳалқанинг қисм тўплами , ҳалқада аниқланган амалларга нисбатан ҳалқа ҳосил қиладиган бўлса, га ҳалқанинг қисм ҳалқаси дейилади.
Теорема 2. ҳалқанинг бўш бўлмаган қисм тўплами , қисм ҳалқа бўлиши учун бу қисм тўпламдаги ихтиёрий иккита элементнинг айирмаси ва кўпайтмаси яна шу қисм тўпламга тегишли бўлиши зарур ва етарли:
1) да ,
2) да .
Исбот. (Етарлилиги). 1) бўш эмас, демак бирор элемент мавжуд. Теореманинг биринчи шартига кўра , яъни тўпламда нол элемент мавжуд;
2) Агар бўлса, бўлгани учун , яъни , демак тўпламдаги ҳар бир элементнинг қарама-қаршиси ҳам га тегишли бўлади.
3) Теоремадаги иккинчи шартга кўра да кўпайтма аниқланган;
4) да қўшишга нисбатан коммутативлик, ассоциативликлар ва дистрибутивликлар ўринли бўлгани учун нинг қисми да ҳам ўринли.
Демак, тўплам қисм ҳалқа экан. Зарурийлиги равшан. ■
Мисоллар. 1) ;
2) Рационал сонлар ҳалқасининг ушбу қисм тўплами қисм ҳалқа бўлади;
3) Ҳакикий ўқда аниқланган барча функциялар тўплами ни одатдаги қўшиш ва кўпайтириш амали билан қарасак ҳалқа бўлиши равшан. орқали фиксирланган нуқтада нолга айланувчи барча функциялар тўпламини белгилаймиз. У ҳолда қисм ҳалқа бўлади.
Изоҳ. Қисм ҳалқа бўш эмас, чунки унда нол элемент бор. Ҳалқадаги нол элемент барча қисм ҳалқаларда ҳам ноллик вазифасини бажаради. Агар ҳалқада бирлик элемент мавжуд бўлса, у қисм ҳалқага тегишли бўлиши шарт эмас. Масалан, .