1-§. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi

2-§.Xarakteristik formula tushunchasi.Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko’rinishi.
Faraz qilaylik (1.1) m-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamada ishtirok etayotgan , …) funksiya
, o'zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz birinchi
tartibli hosilalarga ega bo’lsin.
Ushbu
(1.7)
m=tartibli forma (m -darajali bir jinsli ko'phad) (1.1) tenglamaga
mos bo’lgan xarakteristik forma deyiladi.
Ikkinchi tartibli kvazichiziqli ushbu
(1.8)
ko'rinishdagi differensial tenglama uchun (1.7) forma
(1.9)
kvadratik formadan iborat bo’ladi, bu yerda ).
Algebra kursida isbot qilinadiki, har bir tayin nuqta uchun
shunday maxsus bo’lmagan
det( ) , i=1,2, … ,n (1.10)
almashtirish mavjud bo'lib, uning yordamida (1.9) kvadratik forma
quyidagi ko’rinishga olib kelinadi:

bu yerda , k=1, … ,n koeftitsiyentlar 1-10 qiymatlarni qabul qiladi.
Shu bilan birga musbat (manfiy) koeffitsientlar soni (inertsiya
indeksi) va nolga teng bo’lgan koeffitsientlar soni (forma defekti)
affin invariantdir, ya'ni bu sonlar faqat (1.9) forma bilan aniqlanib,
(1.10) almashtirishning tanlab olinishiga bog'liq bo’lmaydi.
Bu narsa (1.8) diflerensial tenglama koeffitsientlarining
nuqtada qabul qiladigan qiymatlariga qarab, klassifikatsiya qilish
imkonini beradi.
Shunday qilib, (1.3) tenglama 𝛺 sohaning har bir nuqtasida
elliptik, giperbolik yoki parabolik deyiladi. Agar har bír x
nuqtada (1.11) formaning k=1, …,n koeffitsientlari mos
ravishda noldan farqli va bir xil ishorali, noldan farqli va bir xil
ishorali emas yoki kamida bittasi nolga teng (hammasi emas) bo’lsa, u
holda (1.8) tenglama 𝛺 sohani har bir nuqtasida mos ravishda
elliptik, giperbolik yoki parabolik deyiladi.