1-§. Variatsion hisobning asosiy masalasi. Birinchi variatsiyani tekshirish

Yechilishi: Eyler tenglamasi ni tuzish uchun , hosilalarni topamiz. Integral ostidagi funksiya ga teng. Bu funksiyadan bo’yicha xususiy hosila olsak, ga teng bo’ladi. Endi integral ostidagi funksiyadan bo’yicha xususiy hosila olib, ga ega bo’lamiz. Bu funksiyadan bo’yicha to’la hosila olib, ga ega bo’lamiz. Yuqoridagi tenglamaga qo’yib,

Eyler tenglamasiga kelamiz.
3 – masala. Quyidagi variatsion hisob asosiy masalasida joiz statsionar funksiyani toping.
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. masalada joiz statsionar funksiyani toping.
Yechilishi: Statsionar funksiyani topish uchun oldin Eyler tenglamasini tuzib, uning umumiy yechimini topamiz. Integral ostidagi funksiya ga teng. Bu funksiyadan bo’yicha xususiy hosila olsak, u bo’ladi. Endi integral ostidagi funksiyadan bo’yicha xususiy hosila olib, ga ega bo’lamiz. funksiyadan bo’yicha to’la hosila olib, ni hosil qilamiz. Bu funksiyalarni yuqoridagi tenglamaga qo’yib,

Eyler tenglamasiga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini ko’rinishda izlaymiz. bo’lgani uchun, Eyler tenglamasidan,
yoki
xarakteristik tenglamaga kelamiz. Uning yechimi bo’ladi. U holda Eyler tenglamasining umumiy yechimi

bo’ladi. Endi joiz statsionar funksiyani topish uchun Eyler tenglamasining yuqoridagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini izlaymiz.

bo’lgani uchun, joiz statsionar funksiya bo’ladi.