1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish §. Fredholm teoremalari

1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida

Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. Misol. [ a,b ] C2 a b Evklid fazosi to‘la emas , shuning uchun [a ,a ] C2 a b Hilbert fazosi bo‘la olmaydi. Misol. 2  va [a ,b ] L2 a b lar cheksiz o‘lchamli to‘la separabel Evklid fazolaridir. Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo‘ladi.

Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorfligi shundan iboratki, bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi. Ma’lumki, n - o‘lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o‘zaro izomorfdir. Cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas. Masalan 2  va [a , b] C2 a b fazolar izomorf emas, chunki 2  to‘la, [a ,b ] C2 a b esa to‘la emas.

Bu paragrafda biz integral tenglamalar haqida umumiy malumotlar beramiz.

C a , b , L₂ a , b funktsional fazolarida tenglamalar berilgan bo’lib, nomalum

element funktsiyadan iborat bo’lsa, bunday tenglama funktsional tenglama deyiladi. Agar funktsional tenglamada nomalum funktsiya ostida bo’lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,

b

s K s , t g t ,t dt

a

t englama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K s , t , g s , t berilgan

funktsiyalar.

Integral tenglamadagi ifoda nomalum funktsiyaga nisbatan chiziqli bo’lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo’ladi.

	b
	K	s , t	t	dt	f s	0,	(1.1)
	a
		b
	s	K	s , t		t dt+f s	f s ,	(1.2)
		a
bu erda	nomalum funktsiya, K	s , t	va	f	s malum funktsiyalar. (1.1) va (1.2)

tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi.

Xususan, K s , t funktsiya t s qiymatlar uchun K s , t 0 shartni

qanoatlantirsa, u holda (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda

s

K s , t t dt f s 0,(1.3)

a

	s
t	K s , t	t dt	f s ,	(1.4)

a

ko’rinishlarga ega bo’ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredholm tenglamalarining xususiy holi bo’lsa-da, ular alohida o’rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o’ziga xos bo’lgan xossalarga ega.

Agar (1.1)-(1.4) tenglamalarda f funktsiya nolga teng bo’lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi.

Navbatdagi teoremalarni isbotlashda biz integrallash tartibini almashtirish haqidagi Fubini teoremasining natijasidan foydalanamiz. Fubini teoremasi natijasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir.

1.1-teorema (Fubini). Agar K

x , y

funktsiya

a , b

a , b

kvadratda

integrallanuvchi bo’lsa, u holda deyarli barcha x

a , b

y

a , b

larda

b

b

K x , y

^2 dy

K x , y

^2 dx

a

a

integral mavjud va quyidagilar o’rinli

b b

b

b

b

b

K x , y

^2 dx dy

dx

K x , y

^2 dydy

K x , y

^2dx .

a a

a

a

a

a

1.2-teorema. Agar

K

x , y

yadro

(1.5) shartni qanoatlantirsa, u holda

L2 a , b fazoda (1.6) tenglik bilan aniqlanuvchi T operator chiziqli, kompakt va

b b

T

K

s , t

(1.7)

^2 ds dt

tengsizlik o’rinli.

Isbot. Avvalo shuni takidlaymizki, Fubini teoremasi va (1.5) shartga ko’ra, deyarli barcha s lar uchun

Kompakt operatorlarning asosiy xossalari mavzusidagi 1.1-natijaga asosan T ham kompakt operator bo’ladi. Teorema isbotlandi.

1.2-teoremaning isboti davomida biz shu narsani o’rnatdikki, har qanday Fredholm operatori chekli o’lchamli operatorlarning norma bo’yicha limitidir.

T1, T2

(1.6) ko’rinishdagi ikkita operator va K1 , K2

ularga mos keluvchi

yadrolar bo’lsin. Agar barcha

L2 a , b

lar uchun T1

T2

bo’lsa, u holda

deyarli

hamma erda

K1 s , t

K 2 s , t .

Haqiqatan

ham,

agar

barcha

L2

a , b

l ar uchun

b

T1

T2

s

K1 s , t

K 2 s , t

t dt 0

a

bo’lsa, u holda deyarl i barcha s

a , b

larda

Bu

erdan bizning tasdig’imiz

K1 s , t

K 2

s , t

L

a , b ^2

fazoda ekvivalent funktsiyalar

bitta

Element

Shuning uchun aytish mumkinki, integral operatorlar Bilan yadrolar o’rtasidagi moslik o’zaro bir qiymatlidir. 1.3-teorema. T K s , t yadro Bilan aniqlanuvchi Fredholm operatori bo’lsin. U holda unga qo’shma bo’lgan T * operator K t , s yadro bilan aniqlanadi. Isbot. Fubini teoremasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz. Haqiqiy Hilbert fazosi (va demak haqiqiy K yadro) qaraladigan holda o’z-o’ziga qo’shmalik sharti bo’lib, K s , t K t , s

tenglik xizmat qiladi. (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar simmetrik yadrolar deyiladi. Endi (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integral tenglamani o’rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

o’z-o’ziga qo’shma kompakt operator. Demak, bu operatorga Hilbert – Shmidt teoremasini qo’llash mumkin. (1.2) tenglamani qisqacha

ko’rinishda yozamiz. Hilbert – Shmidt teoremasiga asosan, T operator uchun _n xos qiymatlarga mos funktsiyalarning ortonormal sistemasi keluvchi xos shunday

mavjudki, ixtiyoriy			L2	a , b			element yagona usul bilan
^an n	',	' KerT ,

ko’rinishda ifodalanadi. Shunday qilib,


deymiz va (1.9) tenglamaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz. (1.10), (1.11) yoyilmalarni (1.9) ga qo’yib,

tenglamaga kelamiz , ya’ni

Bunday yoyilma yagona bo’lganligi sababli

1.4-teorema. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo’lmasa, u holda (1.9)
tenglama ixtiyoriy f	uchun yagona echimga ega. Agar 1 soni T operator uchun xos
qiymat bhola (1.9) tenglama echimga ega bo’lishi chun			f	funktsiya 1 soniga mos

keluvchi barcha xos funktsiyalarga ortogonal bo’lishi etarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama echimlarining soni cheksizdir.

2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Bu paragrafda chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalarni qaraymiz.