1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

Ax
Ундан эса
ф(Ах) = a rc tg
f(Xg + A X) — f(Xg)
Ax
Кейинги тенгликда Лх-^О да лимитга утамиз:
f(x0+ Ах) — f(x0)
lim ф(Л.с) = lim arctg
х—0 х—0
/(Х0 + Дл-) —
f(x0)
( l(x
0 + A x ) - f ( x Q) \
= С
------Д^-------J = arctg/'(*o)
a = arctg/'(*o).
Демак,
Бу тенгликдан эса
f'(x о) = tg a = k
келиб чикади.
Шундай килиб y = f ( x) функциянинг х 0 нуктадаги хосиласи
f'(х о)
геометрик нуктаи-назардан
М 0 нуктадаги уринманинг
бурчак коэффициентини ифодалар экан/ ,
Бу уринманинг тенгламаси
y = f ( x o ) + f ' ( x o ) ( x — xo)
куринишда булади. Бунда х ва у уринманинг узгарувчи нукта
координаталаридир.
2°. Хосиланинг механик маъноси. Моддий нуктанинг
харакати s = f ( t ) коида билан аникланган булсин, бунда t —
вакт, s — утилган йул. Вактнинг /0 ва
to + At кийматларида
(А /> 0)
s = f ( t ) функция кийматлари f ( t 0) ва f ( t 0 + At ) нинг
айирмаси f(t0-\-At) — f(t 0) ва At вакт оралигида утилган As йулни
аниклайди:
As — f ( t 0 + A t ) — f ( t 0).
Демак, At вакт ичида моддий нукта As йулни утади. Унда
^ нисбат моддий нукта харакатининг уртача тезлигини
билдиради. At—>“0 да ~ нинг лимити моддий нуктанинг
t0
пайтдаги оний тезлигини ифодалайди:
, , ч
\ s ’
.. fOo+m-Wo)
v(t o ) = l i m T r = l i m
------ —--------
= f ' ( t o)
/—о At /—о
Шундай килиб,
s = f ( t ) функциянинг
t0 нуктадаги хосиласи
механик нуктаи-назардан s — f ( t ) коида билан х а р а к а т кила-
ётган моддий нуктанинг to пайтдаги оний тезлигини билдирар экан.3- §. Элементар функцияларнинг х,осилалари
Ушбу параграфда функция хосиласи таърифидан хамда
19-боб 5-§ да келтирилган лимитлардан фойдаланиб элементар
функцияларнинг хосилаларини топамиз.
1°. y = x ,L( x > 0 ) даражали функциянинг хосиласи. Бу функция
орттирмаси А у = (х + Ах)^ — х й = х |1
J"( v ' Vx
— 1 j =
= лгц[ ( 1 + ~ У ~ 1 ] булиб, -L
'
( i + — У - i
— > й -
1
. У
х )
л
х