1-§. Функция х,осиласининг таърифлари

5- §. Функциянинг дифференциали
y = f ( x ) функция (а, Ь) интервалда берилган булсин. Бу (а, b ) да
бирор х 0 нукта олиб, унта Ах орттирма (х0 + А х 6 (а, Ь)) берамиз.
Н а т и ж а д а функция A/ ( х 0) орттирма олади.
3- т а ъ р и ф. А га р Af ( x 0) ни куйидагича
А/(хо) = А -Ах-|-а(Дх) -Ах
иф одалаш м ум кин б улса , /(х) ф ункция х 0 нуктада диф ф ерен циалла-
нувчи дейилади, бунда А — узгарм ас,
Пта(Ах) = 0 .
Дх^О
Масалан, / ( х ) = х 2 функция ихтиёрий х0£( — оо, + о о ) нуктада
дифференциалланувчи булади. Хакикатан хам, берилган функция­
нинг х0 нуктадаги орттирмаси А /(х 0) = / ( х 0 + Ах) — f ( x 0) = (х0 +
+ Ах) 2 — Хо = 2х0Ах-(-Ах2 булиб, 2х0= Л , Ах = а ( А х ) деб олинса,
унда Af (х0) = А • Ах + а ( А х ) • Ах булишини топамиз.
6- т е о р е м a. y=f(x) функция х 0 нуктада (х0£(а, Ь)) диффе­
ренциалланувчи булиш и учун унинг шу нуктада f'(x 0) уоси лага эга
булиш и за р ур ва етарли.
247.
www.Orbita.Uz kutubxonasiИсбот. Зарурлиги. f(x) функция х0 нуктада дифференци-
алланувчи булсин. Таърифга кура
Af (xo) = А • А х -\-а .(А х ) •Ах.
Бу тенгликнинг хар икки томонини Дх га (Дх=^0) булиб, сунг
Дх—>-0 да лимитга утамиз:
lim - ' — = lim [ (А -\-а (Дх) ] = lim А -(- lim а (Дх) = А
Д * -0 Л * д х - о 1
Ах^О Д х -0
Бу тенгликдан /( х ) функциянинг х0 нуктада хосилага эга ва f ' (х0) = А
булиши келиб чикади.
Етарлилиги. /(х) функция х 0 нуктада / ' ( х 0) хосилага эга
булсин. Унда функция орттирмаси формуласига кура Д / ( х 0) =
= f ' ( x о ) Д х - |- а (Д х ) - Дх булади.
Бу эса /( х ) функциянинг хо нуктада дифференциаллану'вчи
булишини билдиради. Теорема исбот булди.
Келтирилган теоремадан f(x) функциянинг х нуктада диффе-
ренциалланувчи булиши билан унинг шу нуктада f ' (х) хосилага эга
булиши тушунчалари эквивалент тушунчалар эканлиги келиб чикади.
Ф а р а з килайлик, у = / (х ) функция (а, Ь) да берилган булиб,
х0(Е(а, Ь) нуктада дифференциалланувчи булсин. Унда Дf ( x 0) =
— f ' ( x 0)Дх + а ( Д х ) Д х булади.
Функция орттирмаси Дх га нисбатан чизикли булган f (хо)Дх
хамда а ( Д х ) Дх ха дл а р йигиндисидан иборат булиб, Д х ^ О да а (Дх) •
•Дх хад f'(x 0)Д х хадг а Караганда тезрок нолга интилади. Шу
сабабли f ' ( x 0) Ax хад /'(х 0)Дх-|-а(Дх)Дх нинг бош кисми булади.
4- т а ъ р и ф. Д х ) ф ун кц и я орттирмаси Д / ( х 0) нинг ч и зи к л и бош
Кисми f'(х0)Дх б ер и лга н ф ун кц и ян и н г х 0 нукт адаги диф ф еренциала
д ейилад и ва dy ёки d f ( x 0) каби б елгиланади:
d y = d f ( x o ) = f ' ( x o ) A x . (7)
Айтайлик, юкоридаги y = f ( x) функция графиги 81- чизмада тасвир­
ланган эгри чизикни ифодаласин, бунда
М 0 = M q(xo, f (хо) ) , М = М (хо -\- Дх, /(хп-)-Д х)).
Равшанки, М пР = Ах, M P = A y — Af(xo) булади.
Эгри чизикка М о нуктада утказилган уринманинг Ох уки билан