1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari

2-§. Normalangan fazolar
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi ||||:X akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish
1. Har doim ||x||0. Shuningdek, x= uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0 bo‘lsa, u holda x;
2. Ixtiyoriy  son uchun ||x||=||||x||;
3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||||x||+||y||
shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart uchburchak aksiomasi deyiladi.
Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son x elementning normasi deyiladi. Agar (x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda (x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi.
Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin.
Ta’rif. Nol,  elementning >0 atrofi deb, U={x: ||x||<} to‘plamga aytiladi.
Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida, markazi  nuqtada, radiusi  bo‘lgan ochiq shar deyiladi.
Shuningdek, xX elementning  atrofi deb x+U to‘plamga aytiladi.
Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||} to‘plam markazi  nuqtada, radiusi  bo‘lgan yopiq shar deyiladi.
Kelgusida, X₁={x: ||x||1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari deyiladi.
Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun, normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin.
Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
Aytaylik X normalangan fazoda {x_n} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar biror x element uchun {||x_n-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lsa, u holda {x_n} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va x_nx kabi belgilanadi.
Shuningdek, agar {||x_n-x_n+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {x_n} ketma-ketlik fundamental deyiladi.
Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi.
To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.
Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda ¹ chiziqli fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi.
2) n o‘lchamli ⁿ haqiqiy fazoda x=(x₁, x₂, . . . , x_n) element uchun normani quyidagicha kiritamiz:
(1)
Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.
Shu ⁿ fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin:
(2) (3)

3) C[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: . Ravshanki, bu norma uchun ham 1, 3 shartlar bevosita bajariladi. 2 shartining bajarilishini ko‘rsatamiz.

Har qanday nuqta va f, g funksiyalari uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
.
Bu yerda t ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan kelib chiqadi.
4) m chiziqli fazoda x=(x₁, x₂, . . . , x_n . . .) elementining normasi deb songa aytamiz. Bu misol uchun norma aksiomalari bevosita tekshiriladi.
Normalangan X fazoning X₀ vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda X₀ ni normalangan X fazoning qism fazosi deyiladi.
Uchinchi misoldagi fazoda olingan P(x) ko‘phadlar to‘plami yopiq bo‘lmagan vektor qism fazoga misol bo‘ladi. Demak, normalangan fazo ma’nosida P(x) fazo ning qism fazosi emas.
Normalangan X fazoda biror A to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan vektor qism fazoni olamiz. ni A to‘plamning chiziqli yopilmasi deyiladi.
Agar elementlarning biror {x_n} sistemasi uchun, uning chiziqli yopilmasi X fazoning o‘ziga teng bo‘lib qolsa, u holda {x_n} sistema to‘la sistema deyiladi.
Yuqoridagi ¹, ⁿ, C[a,b] fazolarning to‘laligini ko‘rsatish mumkin, (masalan [1,2,3] kitoblarga qarang). Demak, ular Banax fazolaridir.
Yana misollar ko‘ramiz.
5) C₂[a,b] – kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar fazosida normani quyidagicha kiritamiz: .
Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Uchburchak aksiomasi umumiy holda isbotlangan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Bu fazoning to‘la emasligi [3] da ko‘rsatilgan.
6) l₂ haqiqiy fazoda normani
, x=(x₁, x₂, . . . ,x_n, . . .)
ko‘rinishida kiritsak, l₂ fazo B - fazoga misol bo‘ladi.
Banax fazosiga muhim bir misol ko‘ramiz. X kompakt to‘plam bo‘lib, C(X) fazo X da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi bo‘lsin. Ravshanki, C(X) chiziqli fazo bo‘ladi.
Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz: .
Bu sonning chekli ekanligi II bob 7-paragrafdagi 2-teoremadan kelib chiqadi. Normaning xossalari esa bevosita tekshiriladi.