1 – amaliy mashg`ulot. Kompleks sonlar to`plami. Kom­pleks sonlarning geometrik talqini. Kompleks sonlar to`plami va Yevklid teksligining izomorfligi. Kompleks tekislikda chiziq va soha. Riman sferasi, kengaytirilgan kompleks tekislik

1.2. Namunaviy yechilgan misollar


1.1-misol. kompleks sonni algebraik shaklga keltirib, uning mavhum qismi, haqiqiy qismini toping.
Yechish. Bu bo’linma (kasr) shaklida berilgan kompleks sonni dastlab soddalashtiramiz. Buning uchun uning surat maxrajini maxrajdagi kompleks sonning qo’shmasiga ko’paytiramiz:
Bu tenglikning o’ng tomonidagi kompleks son haqiqiy va mavhum qismi biz izlagan javob bo’ladi:
J: .
1.2-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.
Yechish. a) kompleks son haqiqiy va mavhum qismlari va bo’lib, uning moduli . nuqta to’rtinchi chorakda joylashganligi uchun tenglamadan .
1.3-Misol. tengsizlikni qanoatlantiruvchi kompleks tekislikning barcha nuqtalari to’plamini geometrik tasvirlang.
Yechish. a) . J: Mavhum o’qgacha bo’lgan masofasi birdan kichik nuqtalardan tashkil topgan yo’lak.
1.4-Misol. ning darajalarini hisoblash fornulalarini keltiring:
Yechish. ning kiritilishidan va natural ko’rsatkichli darajaning ta’rifidan foydalanib quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:

va hokazo.
Umumiy holda ixtiyoriy uchun quyidagi tengliklar o’rinlidir:

.
1.5-Misol. Berilgan tenglamani yeching.
Yechish. Dastlab qavslarni ochib tenglmaning chap tomonida haqiqiy va mavhum qismlarni ajratamiz:

Kompleks sonlarning tengligi ta’rifiga asoslanib, bularning haqiqiy qisimlarini o’zaro hamda mavhum qismlarini o’zaro tenglashtirib, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
Bu sistemani yechib, ekanligini topamiz. Bu esa berilgan tenglamaning yechimidir.
1.6-Misol. Muavr formulasi yordamida va larni ning trigonometrik funksiyalari orqali ifodalang.
Yechish. Muavr formulasi va qisqa ko’paytirish formulasidan foydalanamiz:

Ikkala qismdagi sonlarninig tengligidan ularning haqiqiy va mavhum qismlari tengligi kelib chiqadi:
,
.
J: , .
1.7-Misol . ni hisoblang.
Yechish. Oldingi misollarda ko’rsatilganidek dastlab ildiz ostidagi sonning trigonometric shaklini yozamiz.
chunki .
Ildiz chiqarish formulasidan quyidagi qiymatlarni olamiz: