§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное ли­нейное пространство и — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если
для всех
Задача о продолжении линейного функционала часто встре­чается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема.
Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть — однородно-выпук­лый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функ­ционалу , т. е. если на
(9)
то может быть продолжен до линейного функционала на подчиненного на всем .
Доказательство. Покажем, что если , то функ­ционал можно продолжить с на некоторое большее под­пространство с сохранением условия (9). Действительно», пусть — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид , где .
Если — искомое продолжение функционала на , то

или, если положить ,
.
Теперь выберем с так, чтобы сохранить на условие подчине­ния (9), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных выполнялось неравенство . При оно равносильно условию
или ,
a при — условию

или

Покажем, что всегда существует число , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и — произвольные элементы из . Тогда
(10)
Это вытекает из неравенства
.
Положим

Из (10' в силу произвольности у' и у" следует, что . Вы­брав так, что , определим функционал на формулой
.
Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9).
Итак, мы показали, что если функционал определен на не­котором подпространстве и удовлетворяет на усло­вию (9), то можно продолжить с сохранением этого условия да некоторое большее подпространство .
Если в можно выбрать счетную систему элементов , порождающую все , то функционал на строим но индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпрост­ранст

(здесь означает минимальное линейное подпростран­ство в , содержащее и . Тогда каждый элемент жойдет в некоторое и, следовательно, функционал будет про­должен на все .
В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождаю­щего , не существует) доказательство заканчивается примене­нием леммы Цорна. Совокупность всевозможных продолже­ний функционала , удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью; этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении об­ластей определения функционалов и совпадающий с каждым таким на его области определения. В силу леммы Цорна во всем существует максимальный элемент . Этот максимальный элемент и представляет собой искомый функ­ционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем , так как иначе мы продолжили, бы его описанным выше способом с того собственного подпро­странства, на котором он определен, на большее подпростран­ство, и не был бы максимальным.
Теорема доказана.
Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Ба­наха.
Неотрицательный функционал на комплексном линей­ном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел


Теорема 4а. Пусть — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпрост­ранстве и удовлетворяющий на нем условию
.