Ι. Обучение решению арифметических задач

2.3. Методы обучения решению составных задач в двух действиях.

Основой для выработки умения решать задачи в три – пять действий является знание видов простых задач и приемов их решения, знание зависимости между основными величинами, овладение способами решения задач в два действия.

При обучении решению боле сложных задач существенное значение имеют овладение учащимися общим вспомогательных средств, таких, как краткая запись задачи, составление схемы и чертежа.
Краткая запись, выступая в ролы наглядной и словесной опоры для памяти учеников, способствует более быстрому и всестороннему усвоению задачи, осмыслению значения числовых данных. Выделение из текста числовых данных и из рациональной записи делает более ясным, что дано в задачи, что отыскивается в ней. Краткая запись дает возможность расчленить задачу на условие и искомое, сопоставить между собой данный величины, понять их зависимость, следовательно, облегчает анализ задачи.
Краткой записи нужно учить детей, показывая им готовые образцы, давая задания самостоятельно делать такие записи и пользоваться ими во время самостоятельного решения задач, как в классе, так и дома. При обучении краткой записи задачи важно научить детей систематизировать и располагать данные таким образом, чтобы наиболее выпукло показать сопоставление различных величин. С этой целью при составлении краткой записи задачи разные величины располагаются по различным колонкам так, чтобы облегчить возможность сопоставлять их.
Вот, например, как можно кратко записать задачу на пропорциональное деление: «Лыжная команда прошла 63км с одинаковой скоростью. До остановки команда шла 4 ч, а после остановки 3 ч.
Сколько километров прошла лыжная команда до остановки, и после остановки?»

В ремя

До остановки – 4ч Сумма расстояний
После остановки – 3ч 63км
Такая запись делает долее удобным сопоставление суммы расстояний с суммой промежутков (4ч + 3ч), что является важным этапом в решении задач этого вида.
При разборе задачи целесообразно применять графическое изображение задачи.
В своем психологическом исследование М. Э. Боцманов с большой убедительностью показал значении графической наглядности и этапы ее применения. Она пишет: « трудности в решении задач обусловлены тем, что для детей слишком значительным представляется разрыв между конкретной ситуацией, отраженной в сюжете задачи и абстрактной стороной – математической структурой. Применение графической наглядности способствует преодолению этого разрыва, поскольку любое графическое выражение сочетает в себе черты абстрактного и конкретного. Являясь абстрагированным и обобщенным выражением закономерностей, она переводит решение задачи в конкретный план»
На основании своего исследования М. Э. Боцманов установила, что эффективными средствами для решения задачи являются предметно – аналитическая картинка, схема и чертеж.
Сначала учащимся предлагалась предметно – аналитическая картинка, затем вводилась схема через сопоставление с предметно аналитической картинкой, далее осуществлялся переход к самостоятельному созданию школьниками графической схемы.
Пусть для решения учащимся предложена следующая задача: «С первого участка учащиеся собрали 5 одинаковых корзин моркови, а со второго участка 3 такие же корзины, причем со второго участка собрано на 30кг моркови меньше, чем с первого. Сколько килограммов моркови собрали школьники с каждого участка?»
На доске до урока целесообразно нарисовать предметно – аналитическую картинку.    
Учащиеся по этому рисунку на основании соотношения количества корзин, собранных с Ι и ΙΙ участков видят, что с ΙΙ участка собрали на 2 корзины меньше. Дальше эти 2 корзины они соотносят с числом 30кг и приходят к выводу, что 2 корзины весят 30кг.
Чтобы отвлечь учащихся от сюжета и помочь им установит зависимость между величинами, вводится схема через сопоставление с предметно – аналитической картинкой. Учащимся предлагается вместо каждой корзине начертить прямоугольник, и они без затруднений чертят следующую схему:




Затем устанавливается зависимость между числом 30кг и количеством прямоугольников. С этой целью учащимся предлагается отделить прямоугольники (корзины), которым соответствует вес 30кг. Некоторые ученики догадываются и оделяют две корзины, другие – нет. Тогда задается вопрос, направляющий внимание учащихся на раскрытие основного звена задачи.
— Почему морковь, собранная со второго участка, весила на 30кг меньше?
— Со второго участка собрали на 2 корзины меньше.
— Следовательно, сколько килограммов весили эти две корзины? (30кг.)
Сопоставление схемы и картинки в одной и той же задаче преодолевает разрыв между конкретным сюжетом задачи и абстрактной стороной – математической структурой. Конкретное в картинке служит вначале опорой для понимания абстрактной схемы, в дальнейшем она уже не нуждается в конкретных опорах и становится сама средством самостоятельного анализа задачи.
Возникает вопрос, при решении каких задач учащиеся должны строить схему или чертеж.
Можно рекомендовать ученику строить схему тогда, когда разбор задачи вызывает затруднения, а именно при решении задач, в которых связи и зависимости между величинами при чтении задачи не поддаются вычленению. При решении задач на встречное движение следует делать чертеж.
Овладевать умением самостоятельно решать задачи помогают учащимся специальные указания о том, как работать над задачей.
Вот, например, указания о рабате над задачей, оформление в идее памятки для учащихся:

1. 
   Прочитай внимательно задачу и продумай, что означает каждое число в задаче.
   

Постарайся проставить мысленно то, о чем говорится в задаче.

2. 
   Если задача сложная, запиши кратко ее условие, начерти к ней схему или рисунок.
   
3. 
   Прочитай вторично задачу и перескажи ее про себя.
   
4. 
   Продумай, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи.
   
5. 
   Продумай, что можно узнать из данных и условия задачи и нужно ли это знать для ответа на вопрос задачи.
   
6. 
   Обдумай план решения задачи.
   
7. 
   Реши задачу.
   
8. 
   Проверь ответ.
   

Эта памятка составлялась постепенно при участии самих учащихся. Сначала она использовалась в классе. Каждый ученик переписал эту памятку для себя на отельном листке бумаги. Ученики пользовались ей при самостоятельном решении задач в классе и дома. При систематических упражнениях разбор задачи в определенном плане становится для учащихся привычным, ученики и без обращения к тексту памятку работают над задачей так, как это указано в памятке.
Само собой разумеется, что ученик при работе над заданной ему задачей в зависимости от ее содержания мог пропускать некоторые из указанных в памятке этапов; так, если после первого прочтения задачи ученик понял ее содержание и связи между величинами, то не обязательно читать задачу второй раз и чертить схему.
Основными в памятке являются советы обдумать, что надо знать для ответа на вопрос задачи (указать, какие два данных необходимы для ответа на вопрос задачи) и что можно узнать из данных и условия задачи.
При рассмотрении приемов решения задач в два действия было отмечено, что при установлении связи между искомым и данными можно идти двумя путями: от искомого к данным и от данного к искомому. В задачах в два действия эта связь устанавливается через одно промежуточное звено: для ответа на вопрос задачи может не хватать только одного данного; если исходить изданных, то придется переходить к главному вопросу задачи через постановку одного добавочного вопроса.
При решении задач в три и более действий установить связь между искомым и данными труднее, так как при этом решающему ученику приходится восстанавливать несколько промежуточных звеньев, которые связывают искомое и данные. При установлении этой связи можно идти от искомого к данным или от данных к искомому. Чтобы при этом идти правильным путем, не уклоняясь в стороны, приходится, если начинать от искомого, все время ориентироваться на имеющиеся в задаче данные и условия (проверять, есть ли в задаче данные, которые могут бить использованы для отыскания ответа на опрос задачи). Если же исходить от данных, то, выделяя связанные по условию задачи данные, приходится ориентироваться на вопрос задачи и выяснять, нужно ли объединять те или другие данные для ответа на вопрос задачи. Проследим этот процесс на решении задачи в три действия.
Пусть надо решить задачу: «у школьницы было 38сум. Она купила 4 конверта по 5сум, а на остальные деньги несколько открыток 3сум. Сколько открыток купила школьница?».
Покажем, как происходит установление связи между искомым и данными, если начинать с рассмотрения числовых данных:

38 Сум 4сум по 5сум 3сум

Цена открытки

1. Стоимость четырех

конвертов.

2. Остаток денет после

покупки конвертов
или оплата стоимости
открыток
3. Количество купленных
открыток.

а) объединяя данные (4конв. и по 5сум.), узнаем стоимость четырех конвертов. Это надо знать, чтобы установить, сколько осталось денег на оплату открыток;

б) зная, сколько было денег у школьницы и сколько она израсходовала на покупку конвертов, можно узнать остаток денег, или оплату стоимости открыток;
в) по стоимости открыток и цене открытки можно знать количество купленных открыток, что и требуется в задаче.
Как видно, при объединении данных приходится опираться на ранее известные детям из практики решения простых задач связи между ценой, количеством и стоимостью, между общей стоимость двух групп предметов и стоимостью каждой из них.
В процессе установления связи между данными искомыми возникает иногда необходимость переосмысливать в соответствии с условием задачи значении результата, полученного от объединения данных: остаток денег после из расходования их части в этой задаче, как стоимость нескольких купленных предметов.
Важное значение имеет обучение учащихся приемам самостоятельного отыскания пути решения задачи с использованием при этом различных мыслительных операций: анализа и синтеза, заключения по аналогии, абстрагирования и конкретизации, иногда пере осмысливания получаемых результатов и др.
Установит связь между искомым и данными, ученик переходить к составлению плана решения. При коллективно работе над задачей в классе под руководством учителя план составляется обычно устно.
Запись решения задачи может быть выполнена по-разному. В школьной практике применяются следующие формы записи решения задач:
а) запись арифметических действий, которые потребовалось выполнить для решения задачи, и ответа задачи;
б) после записи каждого действия к результату действия даются краткие письменные пояснения, что именно найдено при помощи данного действия; в конце записывается ответ задачи;
в) перед каждым действием записывается вопрос, на который отыскивается ответ при помощи этого действия;
г) сначала записывается план решения в виде последовательно пронумерованных вопросов, затем под соответствующими номерами - действия и в заключение- ответ;
д.) прежде чем приступить к решению задачи, ученик продумывает план ее решения и составляет числовую формулу, указывающую, в каком порядке, какие действия и над какими числами надо выполнить, чтобы получить ответ задачи.
На примере рассмотренной выше задачи приведем образцы записей решения ее упомянутым формам б), в) и д):
б) 1) 5·4=20(Сум) – стоили конверты;
2) 38- 20= 18(Сум)- осталось на покупку открыток;
3) 18: 3= 6(открыток) купила школьница.
Ответ: 6 открыток.
в) 1) Сколько стоили конверты?
5·4= 20(Сум)
2) Сколько денег осталось после уплаты за конверты?
38-20=18(Сум).
3) Сколько открыток купила школьница?
18:3= 6(открыток).
д.) Х=(38-5·4):3= 6. Ответ: 6 открыток.
Запись с пояснениями к каждому действию легче для учащихся, чем с постановкой вопросов. Поэтому при обучении учащихся, сначала применяется запись с пояснениями, а затем учащиеся переходят к письменной формулировке вопросов. Четвертая форма записи (г) более трудная, так как требует от ученика умения составить и записать полностью план решения и лишь после этого вспомнить и выполнить соответствующие этому плану арифметические действия.
Запись решения задачи в виде числовой формулы сосредотачивает внимание ученика на последовательности действий, которые нужно выполнить для решения задачи, при этом ученик обдумывает, что узнает каждым действием, но не фиксирует этого в записи вопросов, что экономит время. Вычисления производятся после записи числовой формулы.
Различные формы записи применяются в зависимости от особенностей решаемых задач, а также от того, на каком этапе находится ученик в овладении умением решать задачи нового вида: при первоначальном решении новых задач полезно решить несколько задач с записью вопросов, а затем с записью только действий или в виде числовой формулы.
Важное значение при самостоятельном решении задач с учащимися имеет самоконтроль. Умение предварительно «прикинуть» ответ, т.е. установить, в каких границах должно находиться число, полученное в ответе, в соответствии с условиями и данными задачи, помогает оценить правильность получаемого ответа. Этим умением учащиеся овладевают под руководством учителя при разборе задач, устанавливая до решения приближенную оценку ответа.
Учитель обучает учащихся способам проверки задачи, из которых практически удобнее всего использовать способ установления соответствия ответа условия и данным задачи. Если задача допускает несколько способов решения, то проверить правильность ее решения можно применением другого способа решения: совпадение ответов будет подтверждать правильность решения. Один из приемов проверки задачи заключается в составлении обратной задачи в ее решении.
После решения и проверки задачи полезно провести дополнительную работу над задачей.
В школе применяются следующие виды работы над решенной задачей:
1. Решение задачи другим способом (если это возможно).
2. Преобразование задачи – составление обратной задачи и ее решение.
3. Изменение элементов задачи:
а) изменения одного из условий;
б) изменения одного из данных;
в) изменения вопрос задачи;
г) изменения двух или трех указанных выше элементов.
4. Расширение задачи по тем в ведения дополнительных данных и условий.
Дополнительная над задачей способствует лучшему осознанию учащимися отношений и зависимостей между величинами, входящими в содержание решенной задачи.
Полезно предлагать учащимся вопросы о том, как изменится значение одной величины при изменении другой, при каких условиях.
Умение решать задачи развивается учащихся начальных классов постепенно, на протяжении всех лет обучения. В результате обучения учащиеся должны научиться, самостоятельно находить путь решения, любой доступной им арифметической задачи.
Достижение этой цели осуществляется путем овладения учащимися общими приемами разбора задачи, а также обширной практикой учащихся в самостоятельном решении задач.
Самостоятельная работа учащихся по решению задач на уроке будет более эффективной, если ее организовать таким образом, что учащиеся получают разные задачи для решения. Это может быть сделано путем использования пособий, в которых тексты упражнение напечатаны на отдельных карточках, например, карточки- задания, издающиеся для каждого класса.
Многие учителя сами подбирают и составляют задачи, которые записывают на отдельных карточках и предлагают учащимся для решения так, что одновременно учащиеся получают различные задачи (обычно используются 4 варианта), а каждый ученик последовательно выполняет одно за другим все задания.
Это обеспечивает благоприятные условия для полной самостоятельности и возможность работать каждому ученику своим темпом.
На уроке учитель оказывает необходимую помощь тем учащимся, которые в ней нуждаются. Учитель проверяет правильности решения задач учащимся, предлагает исправить подущенные ошибки, подбирает для последующей работы такие задания для каждого ученика, которые способствуют преодолению допущенных ошибок, дальнейшему закреплению и совершенствованию умения решать задачи.
Для установления связи преподавания математики с жизнью большое значение имеет составление задач самими учащимися. Многие учителя ввели в практику собирание учащимися цифрового материала, отражающего окружающую ребенка действительность: скорость движения различных видов транспорта, цены на наиболее распространение продукты и промышленные товары, числовые данные, показывающие изменения в жизни школы, в хозяйственном и культурном строительстве района, области, страны. Собранные на основе наблюдение учащихся, из бесед с родителями, в результате проведения экскурсий числовые данные записываются детьми в особые тетради и используются для составления задач.
Составление детьми задач имеет значение не только для установления связи с жизнью, но и для лучшего понимания структуры задач и приемов их решения.
Как правило, учащиеся составляют свои задачи после того, как научились решать соответствующие готовы задачи. Таким образом, составление задач учащимися проводится в той же системе, в какой предлагаются им задачи для решения в соответствии с требованиями программы.
Однако, было бы неправильно требовать, чтобы учащиеся умели составлять любую задачу той же степени сложности, какой один научились решать: не всякую задачу по сильно составить для учащихся, так как составление задачи связано не только с выбором сюжета, но и с подбором таких чисел, которые допускают выполнение необходимых по ходу решения задач арифметических действии, например вычитания, деления без остатка.
В Ι и ΙΙ классах применяются следующие виды работы учащихся по составлению задач, сначала , простых, в одно действие, а потом составных - в два действия: составление задачи о группах (множествах) предметов или о значениях величин, над которыми учащийся выполняет те или другие действия (например, придвигает предметы, отодвигает их и т.п.) составление задачи на основе наблюдений над действиями, выполняемыми над группами множествами предметов или над значениями величин; составление задачи по картинке, на который указаны цены или стоимость предметов; составление задачи по схеме – условию и вопросу; составление задачи по числовым данным (подбор вопроса к числовым данным); составление задачи по вопросу и одному из числовых данных (подбор недостающего данного ); составление задачи по аналогии с решенной задачи; составление задачи по данному решению (по числовой формуле ).
В ΙΙΙ классе целесообразно предлагать следующие задания по составлению задач:
1.Составить новую задачу по аналогии с решенной:
с подбором других числовых данных, с другим сюжетом, с другими величинами.
2. Составить задачу по краткой записи:
Для старшей дочери— 4м
Для младшей дочери— 3м
Всего 14сум.
Сколько сумов стоила ткань, купленная отдельно для старшей и младшей дочерей?

3.Составить задачу по краткой табличной записи:

Цена Вес Стоимость

Одинаковая 5кг 60сум
9кг Х
4. Составить задачу по рисунку:

Сколько сумов уплатил ученик отдельно за тетради для брата?

5. Составить задачу по схеме:
на 150кг больше

Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка?
6.Составить задачу по чертежу:

3часа 2часа

А 25км. Б
Сколько километров прошел каждый пешеход до встречи?
7. Составить задачу по следующим признакам, данные взять из таблицы цен и скоростей:
А) Дано: Количество разность стоимостей.
Найти каждую стоимость.

Б ) дано: Промежуток времени разность расстояний.

Промежуток времени
Найти каждое расстояние.

8. Составить задачу по формулам.
9. Составить задачу на указанные арифметические действия.
10. Составить задачу указанного вида.
Из рассмотрения перечисленных заданий можно видеть, что их выполнение способствует развитию у учащихся умения делать обобщения, когда они в задаче – образце, в рисунке, в схеме усматривают то общее, что характеризует данную группу задач;
вместе с тем учащиеся упражняются и в конкретизации, облекая схему или формулу в задачу с определенным сюжетом, действующими лицами и предметами.