Ι. Обучение решению арифметических задач

2.2. Методы обучения решению задач в два действия.

1.Для того чтобы решить задачу в два действия, ученику необходимо предварительно овладеть умением к числовым данным подобрать вопрос и указать данные, необходимые для ответа на заданные вопрос. С целью выработки у учащихся этих умений учитель при обучении решению простых задач вводит упражнения в постановке вопроса к данным числам и в подборе одного или двух числовых данных к вопросу.

Чтобы подготовить детей к восприятию, а затем к решению задач в два действия, используются пары таких простых задач, из которых вторая задача является продолжением первой. Приведем образец вторая задача является продолжение первой. Приведем образец таких связанных между собой задач: «Ира нашла у реки 7 белых камешков и один красный. Сколько всего камешков она нашла?
…У Иры было 8 камешков. Она дала подруг 2 камешка. Сколько камешков осталось у Иры?»
Такие подготовительные упражнения способствуют овладению отдельным и операциями, которые придется выполнять детям при решении задач в два действия.
Для первоначального ознакомления учащихся с задачами в два действия целесообразно выбрать задачу, для решения которой сначала требуется выполнить два разные действия (сложение, а затем вычитание ), что бы отчетливее показать необходимость для ее решения именно двух действий. При том задача оформляется так что расположение числовых в задаче соответствует порядку их использования при решении задачи, т. е. предлагается для решения так называемая «приведенная» задача. Вот образец такой задачи: «Ученики на уроке труда сделали сначала 5 игрушек, а потом 4 такие же игрушки. 7 игрушек они отдали в детский сад. Сколько игрушек осталось у учеников?» При разборе такой задачи для детей доступнее объединить имеющиеся данные (5игрушкг и 4 игрушки) И поставить вопрос для нахождения недостающего данного (9 игрушек). Числа в задаче целесообразно подобрать так, чтобы вычитаемое было больше каждого из слагаемых, как это сделано в данной задаче, так как это предотвращает возможность применить другую последовательность действий, что могло бы затруднить разбор задачи при первоначальном ознакомлении с задачами в 2 действия. Если бы в задаче вместо 7 игрушек было дано 3 игрушки, то для решения задачи могла бы быть применена такая последовательность действий:
5-3+4, или 4-3+5.
Предлагать задачи с такими данными полезно тогда, когда дети освоятся с решением задач в 2 действия одним способом лучше предложить детям задачу: составить при участии детей задачу из двух простых задач или сразу предложить готовую задачу в два действия.
Для выяснения целесообразности применения того или другого подхода были проведены экспериментальные уроки. Результаты эксперимента показали некоторые преимущества первоначального ознакомление детей с задачами в два действами путем разбора готовой составной задачи предложенной для решения учащимся.
После решение нескольких подобных задач можно перейти к решению задач, в которых числовые данные при решении используются в иной последовательности, чем они расположены в задаче, т. е. так называемых «неприведенных задач», например: «Отец купил сыну лыжи за 500с. и коньки. За всю покупку он дал в кассу 1000с. и получил сдачи 100с, сколько стоили коньки?»
Особое внимание следует уделить задачам в два действия, первым из которых требуется увеличить число на несколько единиц.
В школьной практике отмечается, что при решении задач этого вида с двумя сложениями дети нередко пропускают одно действие. Чтобы предотвратить появление таких ошибок, полезно использовать при разборе этих задач рисунок или схему. Пусть надо решить задачу: «Школьники сняли с одной яблони 8кг яблок, а с другой на 2кг больше. Сколько килограммов яблок сняли школьники с двух яблонь?»
Разбор задачи сопровождается рисунком на классной доске, иллюстрирующим содержание задачи:
Рисунок наглядно показывает наличие двух корзин яблок. Все яблок в одной корзине известен, вес яблок в другой корзине надо узнать, прежде чем ответить на вопрос, сколько килограммов яблок в двух корзинах.
Учитель может показать детям, как иллюстрировать содержание задачи схемой:

8кг на 2кг больше

Сколько всего?

При решении аналогичных задач учащиеся самостоятельно иллюстрируют подобной схемой содержание задачи, а потом ее решают .

Затем можно предложить учащимся по схеме с числовыми данными и вопросом самим придумать задачу и записать ее решение.
Решая задачи в два действия, учащиеся знакомятся со способами установления связи между искомым и данными, необходимыми для того, чтобы найти путь решения задачи.
Чтобы установить связь между искомым и данными при решении задачи в 2 действия и расчленить составную задачу на простые, можно идти либо от данных к вопросу задачи, либо от вопроса задачи к числовым данным.
Разберем задачу, содержание которой иллюстрируется рисунком: «за 2 коробки цветных карандашей заплатили 480с., а за одну такую же коробку карандашей и тетрадь для рисования заплатили 290с. сколько стоила тетрадь для рисования?»
Отыскивая путь решения задачи, можно идти от числовых данных: сопоставить данные 480с. и 2 коробки карандашей, узнаем цену одной коробки карандашей, узнаем цену одной коробки. А для чего это надо знать? Для того, чтобы затем по обшей стоимости такой коробки и тетради (290с.) узнать, сколько стоило тетрадь.
Возможен и другие путь установления связи между искомым и данным: от искомого к данным.
Чтобы узнать, сколько стоит тетрадь отдельно, надо знать, сколько оно вместе с коробкой карандашей (это известно 290с.) и сколько стоила коробка карандашей (это не известно). Но как узнать цену одной коробки? Есть ли для этого необходимые данные? Цену одной коробки узнаем из сопоставления данных о числе коробок (2) и общей их стоимости (480с.).
При рассмотрении задач в два действия можно объяснить учащимся применение способа составления уравнения для решения задач, например для задач, в 2 действия, в которых требуется найти неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое или вычитаемое.
К составлению уравнения при решении задач в 2 действия на нахождение неизвестного слагаемого можно учащихся 2 класса подвести от решения соответствующее простой задачи.
Для решения предлагается, например, задача; «У школьника было несколько марок, ему подарили еще 6 марок, и у него стало 15 марок. Сколько марок сначала было у школьника?»
Обозначив первоначальное число марок через Х, ученики составляют уравнение:
Х+6=15.
Зная, что для нахождения неизвестного слагаемого следует из суммы двух слагаемых вычесть известное слагаемое, ученики записывают решение:
Х=15-6
Х=9 Ответ: 9 марок.
Затем можно видоизменить задачу, заменив известное слагаемое (6) произведением чисел 3 и 2: «У школьника было несколько марок . Когда ему подарили 2 раза по 3 марки, у него стало 15 марок.
Вдумываясь в содержание задачи, учащийся замечают, что она похожа на уже решенную, в которой надо было найти неизвестное слагаемое по сумме двух слагаемых и одному из них, и, обозначив неизвестное число марок через Х, а второе слагаемое через 3· 2 , записывают уравнение:
Х+3· 2=15.
Чтобы найти неизвестное слагаемое в этом уравнении, надо от суммы (15) отнять известное слагаемое (3· 2):
Х=15-3· 2.
Далее производятся вычисления по правилам порядка выполнения действий: сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
Х=9 Ответ: 9 марок.
Проверка: 9+3· 2=15
9+6=15
15=15.
Приведем образцы задач, в которых требуется найти неизвестное уменьшаемой или вычитаемое, решение которых ученики могут выполнить путем составления уравнение.
«В отрезе было несколько метров сатина. Когда из этой ткани сшили 4 платья, израсходовав по 3м сатина на каждое, осталось 5м сатина. Сколько метров сатина было в отрезке первоначально?»
«Школьники приготовили 2 ящика рассады по 30 кустиков в каждом. Когда они высадили несколько кустиков на клумбу, у них осталось 15 кустиков. Сколько кустиков рассады высадили школьники?»
При составлении уравнений по этим задачам учащиеся приучаются неизвестные компонент действия - уменьшаемое или вычитаемое записывать в виде числового выражения, а затем вычислять его значение
2. Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице. Решая такие задачи, дети практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости.
В содержание задачи на так называемое простое тройное правило выходят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти второй значение этой величины , при условии ,что третья , связанная с ними величина остается без изменение .
Возьмем для примера задачу: «Пароход за 2ч прошел 40км. Сколько километров пройдет пароход за 4ч при той же скорости?» В этой задаче известны два значения времени и одно значения расстояния, соответствующее первому значению времени; известно, что скорость движения не изменяется, требуется найти другое значения расстояния.
Рассмотрим различные способы решения этой задачи, записывая слева решение, справа – его основание.

1способ решения – способ прямого приведения к единице.

Устное решение: При постоянной скорости: при
2ч→40 км уменьшении решении в 2 раза
1ч→20 км расстояние уменьшится в 2 раза;
4ч→80 км затем при увеличении времени в
Письменное решение: 4 раза расстояние увеличится в
1) 40км : 2= 20км 4раза.
2) 20км · 4=80км. Проводится к единице
численное значение
времени, два значения
которого известны.

2 способ решение – способ обратного приведения к единице.

У стное решение: При постоянной скорости
40 км→2ч, или 120 мин на прохождение 1км пути
1км →3 мин потребуется времени в 40 раз меньше,
4ч, или 240мин→80км чем на прохождение 40км пути, т.е
Письменное решение: 3мин, а за 4ч (240 мин)
1)120 мин: 40= 3 мин; пароход пойдет во столько раз
2)240 мин: 3 мин = 80(км) больше во сколько раз 240
Проводится к единице минут больше 3мин.
численное значение
расстояния, одно значение
которого известно, а
другое неизвестно.

Этот искусственный способ решения данной задачи приведен для того, чтобы изучающие методику представляли, что способ прямого приведения к единице и способ обратного приведения к единице может быть применен к одной и той же задаче 2 действия с пропорциональными величинами.

Способ обратного приведения к единице естественно используется для решения задач, подобных следующей: «Пароход прошел за 2ч 40км. За сколько часов пройдет пароход при той же скорости 80км?»
Решение этой задачи:

1. 
   40км: 2= 20км
   
2. 
   80км: 20км= 4 (ч).
   

3 способ решения – способ нахождения отношения.

Краткая запись задачи: При постоянной скорости

2ч→ 40км движения во сколько раз
4ч→ х увеличивается время, во столько
Решение: же раз увеличивается и
1)4ч : 2ч = 2; пройденное расстояние.
2)40км · 2 =80км.

Способ нахождения отношения в начальных классах может быть применен только в том случае , если числа ,выражающие два различных значения одной величины , кратны одно другому .Способ обратного приведения к единице удобно использовать при решении задач ,в которых требуется найти неизвестное значение количества или времени .

При обучении решению указанных задач следует опираться на приобретенное учащимися ранее умение решать простые задачи на умножение и деление ,в которых требуется узнать значение одной из связанных между собой величин по данным значениям других величин , например, узнать стоимость по цене и количеству предметов ,количество – по цене и стоимости ,цену –по стоимости и количеству.
Хорошее знание учащимися зависимости между величинами служит основой, опираясь на которую ,учащиеся овладевают решением задач способом привидение к единице .
Для разъяснения учащимся способа нахождения отношения можно применить наглядные пособия. Пусть надо решить задачу: «2 конверта с марками стоят 90сум. Сколько стоят 6 таких конвертов?»
Рассмотрение изображения этих конвертов, сгруппированных парами, поможет учащимся понять, что увеличение числа пар конвертов в несколько раз влечет за собой увеличение их стоимости во столько же раз.
       
90сум, х

Учащееся ставят вопрос: «во сколько раз 6 конвертов больше 2 конвертов?», находят ответ, что в 3 раз больше, и узнают стоимость 6 конвертов, умножая 9сум. На 3.

Лучшему усвоению способов решения задач содействует совместное рассмотрение взаимно обратных задач и самостоятельная работа учащихся по преобразованию исходных задач в обратные.
Например, задача «3 чашки стоят 6сум. Сколько стоят 5 чашек?» путем замены искомого найденным числом, а одного из данных искомым может быть преобразована в следующие обратные ей задачи:

1) 5 чашек стоят 10сум. Сколько стоят 3 такие чашки?

2) 3 чашки стоят 6сум. Сколько таких чашек можно купить на 10сум?
3) 5 чашек стоят 10сум. Сколько таких чашек можно купит на 6сум?

Решение исходное задачи и первой из преобразованных выполняется способом прямого приведения к единице, решение второе и третьей – способом обратного приведения к единице.

Задачи в два действия на нахождение четвертого пропорционального удобнее всего решать или способом приведения к единице или способом нахождения отношения в том случае, когда два значения одной величины кратны одно другому.
Однако, для решения некоторых видов этих задач целесообразно применят способ составления уравнений.
Пусть надо решить задачу: «Ученик купил несколько тетрадей для рисования по цене 6сум. За тетрадь и заплатил за них 30сум. Его товарищ купил столько же альбомов для рисования и заплатил за них 50сум. По какой цене он купил альбомы для рисования?»
Обозначив искомую цену альбома через х, количество купленных альбомов можно выразить через их стоимость и цену:
50: Х;
количество же тетрадей – 30: 6

По условию задачи количество купленных предметов одинаково, поэтому

50:х=30:6

Ученики решают это уравнение:

50:х=5
Х=50:5
Х=10
Ответ: 10сум.