§ Masalaning qo‘yilishi

Lemma-3.1.2. Quyidagi tenglamalardan funksiyalarni topish masalasi masalaga ekvivalent:

				(3.1.6)
			(3.1.7)

(3.1.8)

bu yerda

(3.1.9)

Isbot. (3.1.4), (3.1.2) va (3.1.3) masaladan ko‘rinishda yangi funksiyani belgilaymiz. Natijada

		(3.1.10)
		(3.1.11)
		(3.1.12)

masalalardan topish masalasi kelib chiqadi. Bu yerda (3.1.4) integro-differensial tenglamadan deb (3.1.11) tenglamani hosil qilamiz. (3.1.10)-(3.1.12) masaladan belgilab quyidagi masalaga kelamiz:

		(3.1.13)
		(3.1.14)
		(3.1.15)

Bu yerda (3.1.14), (3.1.15) tengliklarning va da tenglashtirib (3.1.9) da kuzatiladigan munosabatga erishamiz. Bundan tashqari funksiya ma’lum deb qaraymiz.

funksiyani funksiya orqali belgilaymiz. (3.1.13), (3.1.14) masalani ikki marta bo‘yicha differensiallab (3.1.6), (3.1.7) masalaga kelamiz. da funksiya uchun qo‘shimcha shart olish uchun (3.1.13) integro-differensial teglamadan va funksiyalarga ajratamiz Shunday qilib (3.1.4), (3.1.2), (3.1.3) masala (3.1.6)-(3.1.8) masalaga ekvivalentligi kelib chiqadi.

Lemma isbotlandi.

3.2 § Asosiy natija. Mavjudlik va yagonalik haqidagi teorema.

(3.1.6)va(3.1.7) Koshi masalasini I bobning 1.2 paragrafigagi (1.2.3) formuladan foydalanib funksiyaga nisbatan integral tenglamaga kelamiz:

(3.2.1)

Bu yerda ning asosiy yechimi issiqlik operatori

(3.2.1) integral tenglamadan deb qo’shimcha shart orqali nisbatan quyidagi integral tenglamani olamiz:

(3.2.2)

bu yerda

(3.2.1) va (3.2.2) integral tenglamalarda va noma’lum funksiyalar qatnashayapti, shu sababli (3.1.13) va (3.1.4) masaladan funksiyaga nisbatan integral tenglama hosil qilamiz:

(3.2.3)

(3.1.13), (3.1.4) masalani bo‘icha differensiallab, hosil bo‘lgan Koshi masalasiga funksiyaga nisbatan quyidagi ekvivalent integral tenglamani hosil qilamiz:

(3.2.4)

Ushbu paragrifning asosiy natijasi sifatida keltirilgan quyidagi mavjudlik va yagonalik teoremasini isbotlaymiz:

Teorema 3.2.1 Faraz qilaylik, sinflardan bo‘lib, kelishuvchanlik shartlari bajarilsin. U holda yetarlicha kichik lar uchun (3.2.1)-(3.2.4) integral tenglamalarning sinfga qarashli yagona yechimi mavjud.

Isbot. (3.2.1)-(3.2.4) integral tenglamalar sistemasi funksiyalarga nisbatan to‘plamda yopiq sistemani tashkil qiladi. Bu tenglamalar sistemasini chiziqli bo‘lmagan operator tenglama ko‘rinishida yozib olamiz:

(3.2.5)

bu yerda (3.2.1)-(3.2.4) tenglamalardagi operator, ko‘rinishga ega.

(3.2.6)

(3.2.7)

(3.2.8)

(3.2.9)

(3.2.6)-(3.2.9) tenglamalarda quyidagicha belgilashlar kiritganmiz:

Quyidagicha belgilash kiritaylik fazoda aniqlangan fuksiyalar to‘plamida olingan funksiyalar uchun quyidagi tenglik o‘rinli

(3.2.10)

bu yerda

va

(3.2.10) tengsizlik etarlicha kichik musbat larda yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi. Faraz qilaylik, funksiyada ning ixtiyoriy elementi bo‘lsin, bu yerda . U holda (3.2.10) tengsizlikdan quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi:

Dastlab operatorni siqiluvchan operatorning birinchi shartini tekshiramiz. Issiqlik hajm potensialining ma’lum bahosidan foydalanib quyidagi baholarni oson olish mumkin

Qolgan komponentalari ham xuddi shunday aniqlanadi:

bu yerda

da agar biz ni tanlasak quyidagi tengsizliklar o‘rinli bo’ladi:

(11)

operator qisqartirib akslantirishning birinchi shartiga ega bo’ladi, bu yerda

operator uchun qisqartirib akslantirishning ikkinchi shartini ko‘rib chiqamiz.

berilgan bo‘lsin

yuqoridagi tengsizlikdan foudalanib (3.2.6)-(3.2.9) integral tenglamalarni quyidagicha baholaymiz

Qolgan komponentalari ham xuddi shunday aniqlanadi:

(12)

ni (12) shartni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz, u holda operator uchun

shart bajariladi.

Agar (11) va (12) shartdan ni , shuningdek larni bajarilishini talab qilsak, u holda operator qisqartirib akslantirish prinsipining ikkala shartini ham qanoatlantiradi, ya’ni operator to‘plamni o‘zini o‘ziga akslantiradi. Bundan esa, qo‘zg‘almas nuqtaning mavjudligi haqidagi Banax teoremasiga ko‘ra operatorning sharda yagona qo‘zg‘almas nuqtasi mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (3.2.1)-(3.2.4) tenglamalar sistemasini yechib, masalan ketma-ket yaqinlashishlar usulidan foydalanib va sinfga tegishli bo‘lgan va funksiyalar yagona ko‘rinishda topiladi. Undan tashqari parabolik tenglamalar umumiy nazariyasiga ko‘ra, teoremaning barcha shartlari bajarilganda (3.2.1) integral tenglamaning sinfga qarashli yechimi bo‘lishi kelib chiqadi.

Teorema isbotlandi.

belgilashga ko‘ra funksiyaning hosilasi orqali


formula yordamida topiladi, bu yerda (3.1.9) tenglikka ko‘ra ma’lum funksiya. U holda, har bir fiksirlangan larda (3.1.5) integral tenglamadan yagona ko‘rinishda aniqlanadi. Shuning uchun yuqorida isbotlangan teorema va shartlardan (3.1.1)-(3.1.3) masalaning yagona yechimga ekanligi xulosa qilinadi.