§. Harakatning xususiy hollari

5.7 -§. Nuqta xarakatining berilish usullari.


1.Vektor usuli: Nuqtaning t va t₁= t + t vaqtlardagi ikki holatini solishtiramiz:



Dt - vaqt oraliqidagi o’rtacha tezlik

vektori u MM₁ ko’chish vektori bo’ylab yo’nalgan

( t = 0 deb, limitga o’tamiz: funktsiya ortirmasini orgument ortirmasiga bo’lgan nisbatida olingan limit funktsiya hosiliga teng (hosila ta'rifi); ya'ni

t - vaqtdagi tezlik vektori troektoriyaga urinma bo’ylab yo’naladi.

Limitga o’tib qo`yidagini hosil qilamiz:

• 
  Nuqtaning t vaqtdagi haqiqiy tezlanish vektori. Agar nuqta bir v tekislikda yotuvchi chiziq bo`ylab harakatlansa - tezlanish traektoriya tekisligida yotib, traektoriyaning botiq tomoniga yo’naladi.
  

Bu usulda M nuqtaning xolati biror qo’zg’almas O markazdan o’tkazilgan r radius – vektor bilan aniqlanadi. M nuqta xarakatlanganda uning r radius vektori vaqt o’tishi bilan ma`lum qonun asosida o’zgaradi, ya`ni skalyar argument t ning vektorli funktsiyasidan iborat bo’lad.
(1)
Agar funktsiya ma`lum bo’lsa, t vaqtning xar bir payti uchun M nuqtaning xolati ma`lum bo’ladi. Shu sababli tenglama nuqtaning vektor rasmdagi xarakat tenglamasi yoki xarakat qonuni deyiladi.
bo’lsa, nuqta tinch xolatda bo’ladi.
2. Koordinatalar usuli: Hosil bo`lgan vektor ifoda va radius-vektor bilan koordinata orasidagi boq`lanishdan foydalanamiz




1.Tezlanish moduli: vektorining tashkil etuvchilari.
2.Tezlanishning koordinata o’qlardagi proyeksiyasi.
3.Tezlanish vektorining yo’nalishi.

Nuqta xarakatlanganda uning koordinatalari vaqt o’tishi bilan o’zgaradi. Binobarin, M nuqtaning koordinatalari t vaqtning funktsiyasidan iborat bo’ladi:

(2)
Agar vaqt o’tishi bilan , , bo’lsa, ya`ni lar o’zgarmasa, nuqta mazkur sanoq sistemasiga nisbatan tinch xolatda bo’ladi. Shu sababli nuqtaning Dekart koordinatalaridagi xarakat tenglamasi deb ataluvchi tenglamalar nuqtaning xolatini butunlay aniqlay oladi.
Nuqta xarakati vektor va koordinata usullarda berilgan, ular orasida quyidagi munosabat mavjud bo’ladi:
(3)
bunda lar koordinata o’qlarining birlik vektorlaridir.
Agar nuqta traektoriyasi bir tekislikda yotsa, u xolda xu tekislik uchun mazkur traektoriya yotgan tekislikni olamiz. Bunda nuqtaning xarakat tenglamasi
rasmida yoziladi va nuqtaning tekislikdagi xarakat tenglamalari deyladi.
Nuqtaning to’g’ri chiziqli xarakatda bo’lsa, xarakat traektoriyasi bo’ylab x o’qni yo’naltiramiz, bu xolda nuqtaning to’g’ri chiziqli xarakat tenglamasini ifodalaydi.
3. Tabiiy usul: Tezlanishni vektor ifodasi va harakat tabiiy usulda berilganda tezlikning ifodakidan foydalanamiz.
Birlik urinma vektorni murakkab funksiya ko`rinishida tasvirlaymiz. U holda birlik urinma vektorning vaqt bo`yicha hosilasi bo`ladi.
Birlik urinma vektorning s yoy kordinatasi bo`yicha hosilasining kattaligi
bo`ladi:

Agar D s ® 0 egrilik radiusi r ₁ ® r, egrilik radiuslari orasidagi burchak Dj ® 0. Bunda surat t₁ va t birlik vektorlari jrasida hosil bo`lgan teng yonli uchnurchakning asosi, mahraj esa r radiusli aylana yoyining uzunligi

B irlik vektorning Dt orttirmasi va birlik vektor t orasidagi burchak Dj ® 0 da u 90^o ga intiladi.
Shunday qilib, birlik urinma vektoridan yoy koordinatasi bo`yich olingan hosila vektor bo`lib, u troektoriyaga o`tkazilgan urinmaga perpendikulyar bo`ladi.
Nuqtaning traektoriyasi ma`lum bo’lsa, nuqta xarakatini tabiiy usulda aniqlash qulay bo’ladi. Nuqtaning traektoriyasi biror Oxuz koordinata sistemasiga nisbatan ma`lum bo’lsin.Traektoriyaning biror O nuqtasini sanoq boshi uchun tanlabolib, uni qo’zg’almas nuqta deb qaraymiz. Xarakatlanayotgan nuqtaning xolati traektoriya bo’ylab xisoblanadigan yoy koordinatasi bilan aniqlanadi. Nuqtaning trayektoriyadagi xolatini bir qiymatli aniqlash uchun yoy koordinatasining musbat va manfiy yo’nalishlari ko’rsatiladi. Vaqt o’tishi bilan nuqta chiziqbo’ylab xarakatlanishi natijasida uning yoy koordinatasi s o’zgarib boradi xamda t vaqtning bir qiymatili, uzluksiz va differentsiallanadigan funktsiyasidan iborat bo’ladi:
s = f (t) (3)
Bu munosabat nuqtaning xarakat tenglamasi yoki chiziq bo’ylab xarakat qonuni deyiladi.
M nuqtaning xarakatini tabiiy usulda aniqlash uchun uning traektoriyasi, traektoriyada olingan O qo’zg’almas nuqta, yoy koordinatasining xisoblash yo’nalishi va s = f (t) xarakat tenglamasi berilgan bo’lishi kerak.