Принцип отражения в множестве натуральных чисел план

ПРИНЦИП ОТРАЖЕНИЯ В МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

План

1. 
   Определение натуральных чисел
   
2. 
   Формальное определение
   
3. 
   Теоретико-множественное определение
   

Определение натуральных чисел

Неформальное определение

Определение:

Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• 
  Перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
  
• 
  обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
  

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком NN. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.


Формальное определение
Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:

Множество NN будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент 1∈N1∈N (единица) и функция S:N→NS:N→N (функция следования) так, что выполнены следующие условия 1∈N1∈N (11 является натуральным числом); Если x∈Nx∈N, то S(x)∈NS(x)∈N (Число, следующее за натуральным, также является натуральным); ∄x∈N (S(x)=1)∄x∈N (S(x)=1) (11 не следует ни за каким натуральным числом); Если S(b)=aS(b)=a и S(c)=aS(c)=a, тогда b=cb=c (если натуральное число aa непосредственно следует как за числом bb, так и за числом cc, то b=cb=c);