Неинерциальные системы отсчета

Движение тел переменной массы. Центр масс системы тел. Неинерциальные системы отсчета.

Рассмотрим случай, когда в процессе движения масса материальной точки изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса двигающегося тела m и скорость .

Спустя время масса уменьшится на , а скорость увеличится на . При этом отделившаяся масса имеет скорость относительно данного тела.
По II закону Ньютона:
Где:
- равнодействующая внешних сил, действующих на тело.
Свяжем ИСО с телом в момент времени t.
В выбранной СО тело в момент начала наблюдения покоится. Определим изменение импульса системы тел:
Разделим полученное выражение на dt:
- то после соответствующей замены получаем:
Полученное уравнение называют основным уравнением динамики точки переменной массы или уравнением Мещерского.
- реактивная сила, возникающая вследствие действия на тело отделяемой (или присоединяемой) массы.
После замен получаем основное уравнение динамики при движении тела переменной массы:
Частный случай применения основного уравнения динамики:
Пусть . В этом случае и основное уравнение динамики принимает вид:
Пусть система замкнута:
Пусть в момент t тело покоится:
- формула Циолковского.
Из формулы Циолковского следует, что скорость ракеты направлена противоположно скорости вылета газов (при ), не зависит от времени сгорания топлива, а определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе.
Центр масс системы частиц.
Центром масс (или центром инерции) системы называется точка С, положение которой задаётся радиус-вектором.
Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n n-ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как m k mk. Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую F k e Fke. Внутренние силы имеют равнодействующую F k l Fkl. Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение a k ak. Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу: m k a k = F k e + F k l mkak=Fke+Fkl. Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения: open m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l , m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l , ⋯ m n a n = F n e + F n l . ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ m1a1=F1e+F1l,m2a2=F2e+F2l,⋯mnan=Fne+Fnl. Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом. Движение центра масс: основная теорема Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс. Определение 1 Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R R, выражаемым через радиус-векторы r 1 , r 2 , . . . r1, r2, ... соответствующих материальных точек по формуле R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m R=m1r1+m2r2+...+mnrnm. Здесь сумма показателей в числителе m = m 1 + m 2 + . . . + m 3 m=m1+m2+...+m3 выражает общую массу всей системы. Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что: ∑ m k ¯¯¯¯ a k = ∑ ¯¯¯¯ F k e + ∑ ¯¯¯¯ F k l ∑mkak¯=∑Fk¯e+∑Fk¯l. Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее: ∑ m k r k = M r c ∑mkrk=Mrc. Теперь возьмем вторую производную по времени: ∑ m k a k = M a c ∑mkak=Mac. Здесь буквой ¯¯¯ a c ac¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы. Определение 2 Свойство внутренних сил в системе гласит, что F k l Fkl равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так: M ¯¯¯ a c = ∑ ¯¯¯¯ F k e Mac¯=∑Fk¯e. Это уравнение является записью закона движения центра масс. Запишем его: Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы. Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Где:
и - масса и радиус-вектор i-ой частицы.

Определим центр масс системы, состоящей из 2-х частиц. Положение точек и относительно системы центра масс характеризуется радиус-векторами:
Так как:
То после соответствующих подстановок получаем:
Из полученных выражений следует, что , то есть точка С лежит на линии, соединяемой точки, кроме того:
ЦМ двух точек делит расстояние между точками в отношении, обратно пропорциональном массам точек.
В однородном поле силы тяжести ЦМ системы совпадают с центром тяжести.
Скорость центра масс:
Из последнего уравнения следует, что импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра масс.
Уравнение движения ЦМ.
Так как:
То, учитывая постоянство массы, получаем:
Центр масс любой системы движется так, как если бы все массы системы были сосредоточены в этой точке, и к ней были бы приложены все внешние силы. При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.
Если система замкнута, и , то .
В замкнутой системе скорость ЦМ остаётся постоянной при любом движении тел внутри системы.
Систему отсчёта, жестко связанную с центром масс, и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или Ц - системой.
Отличительной особенностью Ц - системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю.
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.
Неинерциальной является система отсчета, в которой не выполняется явление инерции. Это С.О., движущаяся с ускорением относительно И.С.О.
Пусть С.О. К' вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью и перемещается поступательно относительно С.О. К с ускорением . Точка массой m движется в С.О. К' с ускорением . Согласно закона преобразования ускорений результирующее ускорение точки в системе отсчета К определяется по формуле:
Тогда ускорение точки в С.О. К' можно найти по формуле:
Умножим левую и правую части последнего уравнения на массу точки:
В итоге получаем основное уравнение динамики точки в Н.И.С.О.:
Где:
- поступательная сила инерции, обусловленная поступательным движением Н.И.С.О.,
- центробежная сила инерции, обусловленная вращательным движением С.О. вектор центробежной силы направлен вдоль радиуса окружности от её центра,
- сила Кориолиса, возникающая вследствие движения тела во вращающейся С.О.
Особенности сил инерции:
Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется.
Эти силы существуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета сил инерции нет и понятие сила в этих системах отсчета применяется только в ньютоновском смысле - как мера взаимодействия тел. динамика инерция импульс
Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.
Соответствие поля тяготения и поля инерции привело Эйнштейна к формулировке принципа эквивалентности: все физические явления в однородном поле тяготения происходят точно также, как и в соответствующем однородном поле сил инерции.