Mavzu: Geometrik ehtimollar va bertron paradokslari

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO’NALISHI 192-GURUH TALABASI SAFAROV SARVARBEKNING EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA FANIDAN

KURS ISHI

MAVZU: Geometrik ehtimollar va bertron paradokslari

Topshirdi: Safarov S

Qabul qildi: Rasulov K.
Urganch 2022.

Urganch Davlat Universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika kafedrasi matematika yo’nalishi 192-guruh talabasi SAFAROV SARVARBEKning ,,Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi’’ mavzusidagi kurs ishiga

T A Q R I Z
Ushbu kurs ishida ,,Hosil qiluvchi funksiyalar. Ehtimolning polynomial taqsimoti’’ mavzusi o’rganilgan bo’lib , bunda ehtimollar nazariyasi,xossalari, ehtimolikni geometrik tarkibi va statistikasi, bertron paradoksi bayon etilgan. Talaba Safarov Sarvarbek ,,Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi’’ mavzusidagi kurs ishi Oliy va O’rta maxsus ta’lim vazirligi tomonidan kurs ishini bajarishga qo’yilgan talablarga to’la javob beradi. Mazkur kurs ishini www.ziyonet. uz internet tarmog’iga joylashtirilishiga tavsiya qilaman.

Ilmiy rahbar : Rasulov K

Urganch Davlat Universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika kafedrasi matematika yo’nalishi 192-guruh talabasi Safarov Sarvarbekning ,,Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi’’ mavzusidagi kurs ishiga
T A Q R I Z
Taqrizga taqdim etilgan talaba Safarov Sarvarbekning kurs ishi 20 bet, kirish qismi, reja asosida yozilgan, xulosa va 8 ta adabiyot va internet saytlaridan foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan tarkib topgan bo‘lib, “Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi” mavzusini o‘rganishga bag’ishlangan .Kurs ishining kirish qismida ishning dolzarbligi va ahamiyati ko‘rsatilgan.
Talaba Safarov Sarvarbekning kurs ishi “Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi”mavzusi adabiyotlar asosida tahlil qilib chiqilgan. Taqrizga taqdim qilingan Safarov Sarvarbekning kurs ishini yakunlangan ish deb, muallifning ishini a’lo bahoga loyiq deb o‘ylayman.

Mavzu: Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi.

REJA:
I.Kirish. Ehtimollar nazariyasi
II.Asosiy qism:
1 Ehtimollikning xossalari
2 Geometrik ehtimollar
3 Paradokslar
4 Bertron paradoksi
III.Xulosa.

KIRISh

Ehtimollar nazariyasi “tasodifiy tajribalar" , ya'ni natijasini oldindan aytib bo'lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlarni o'rganuvchi matematik fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o'zgarmas (ya'ni, bir xil) shartlar kompleksida hech bolmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi.

Bunday tajribalar har birining natijasi tasodifiy hodisa ro'y berishidan iborat. Insoniyat faoliyatining deyarli xamma soxalarida shunday holatlar mavjudki, u yoki bu tajribalarni bir xil sharoitda kop marta takrorlash mumkin boladi. Ehtimollar nazariyasining sinovdan-sinovga o'tishidan natijalar turlicha bolgan tajribalar qiziqtiradi.

Biror tajriba roy berish yoki bermasligini oldindan aytib bolmaydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi. Tanganing gerb tomoni tushishi yoki tanganing raqam tomoni tushishi. Albatta bu tajribani bir marotaba takrorlashda shu ikki tasodofiy hodisalardan bittasi sodir boladi.
Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jamiyatda, ilmiy tajribalarda sport va qimor oyinlarida kuzatishimiz mumkin.

Ehtimollar nazariyasi esa aynan mana shunday tasodifiy bogliqliklarning matematik modelini tuzish bilan shuģullaniladi. Tasodifiyat insoniyatni doimo qiziqtirib kelgan. Shu sababli ehtimollar nazariyasini boshqa matematik fanlar kabi amaliyot talablariga mos ravishda rivojlangan. Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlardan farqli o'laroq nisbatan qisqa, ammo o'ta shijoatli rivojlanish tarixiga egadir.

Ommaviy tasodifiy hodisalarga mos masalalarni sistematik ravishda o'rganish va ularga mos matematik apparatning yuzaga kelishi XVII asrga togri keladi. XVII asr boshida , mahshur fizik Galiley fizik olchashlardaki xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab, ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrda kasallanish olish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi ommaviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan sug'urtalashning umumiy nazariyasini matematik ilm sifatida murakkab tasodifiy jarayonlarning o'rganishdan emas,balki eng sodda qimor o'yinlarini tahlil qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtimollar nazariyasining paydo bolishi XVII asr ikkinchi yarmiga mos keladi va Paskal (1623-1662), Ferma (1601-1665) va Gyuygens (1629-1695) kabi olimlarning qimor oyinlarining nazariyasidagi tadqiqotlar bilan bogliqdir.
Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam Yakov Bernulli(1654-1705) nomi bilan bog'liqdir.Unga, kora ehtimollar nazariyasining eng muhim qonuniyati, deb hisoblovchi “katta sonlar qonuni"tegishlidir.Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam de Muavr (1667-1754) nomi bilan bog'liqdir. Bu olim tomonidan normal qonun( yoki normal taqsimot) deb ataluvchi muhim qonuniyat mavjudligi sodda holda asoslab beriladi.

Keyinchalik, ma'lum bo'ldiki bu qonuniyat ham, ehtimollar nazariyasida muhim ro'l o'ynar ekan. Bu qonuniyat mavjudlihini asoslovchi teoremalar “markaziy limit teoremalar deyiladi. Rhtimollar nazariyasi rivojlanishida katta hissamahshur natematik Laplasga (1749-1827) ham tegishlidir. U birinchi bolib ehtimollar nazariyasi asoslarini qat'iy va sistematik ravishda ta'rifladi, markaziy limit teoremasiming bir formasini isbotladi (Muavr-Laplas teoremasi) va ehtimollar nazariyasining bir necha tadbiqlarini keltirdi.

Ehtimollar nazariyasi rivojidaki yetarlicha darajada oldinga siljish Gauss (1777-1855) nomi bilan bog'liqdir. U normal qonuniyatga yanada umumiy asos berdi va tajribadan olingan sonli ma'lumotlarni qayta ishlashning muhim usuli- “kichik kvadratlar usuli" ni yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini umumlashtiradi va ehtimollar nazariyani oq uzish masalalariga qolladi. Hning nomi bilan ehtimollar nazariyasida katta rol oynovchi taqsimot qonuni nomlangandir. XVII va XIX asrlar uchun ehtimollar nazariyasining keskin rivojlanishi va u bilan har tomonlama qiziqish harakterlidir.
Keyinchalik ehtimollar nazariyasi rivojiga Rossiya olimlari V.Ya Bunyakovskiy (1804-1889) , P.L. Chebishev (1821-1894) , V.I. Ramonovskiy (1879-1954) , A.N. Kolmogorov (1903-1988) va ularning shogirdlari bebaho hissa qoshdilar. Ozbekistonda butun dunyoga taniqli Sarimsokov (1915-1995) va X.S. Sirojiddinov (1920-1988) larning muhim rollarimi alohida takidlash joizdir

Ehtimollikning xossalari

Kolmogorov aksiomalarning tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz.

1.Mumkin bolmagan hodisalarning ehtimoli nolga teng

P=0

2. Qarama qarshi hodisalarning ehtimolliklari yigindisi birga teng.

P(A)+P(A)=1

3. Ixtiyoriy hodisalarning ehtimolligi uchun quyidagi munosabatlar orinli.

0

4. Agar A《 B bolsa , u holda P(A)< P(B).

5.Agra birgalikda bolmagan A..A..A hodisalar tola guruppani tashkil etsa u holda

1 P( A ) = 1.

Isboti:
1. A + 0 = A, A -0 = 0 tengliklardan A3 aksiomaga k o ‘ra

P(A) + P (0 ) = P(A) ^ P (0 ) = 0
2. A + A = Q A - A = Q tengliklardan P(A) + P(A) = P(Q) hamda A2 va A3
aksiomalardan esa P ( A) + P( A) = 1 tenglik kelib chiqadi.
3. 2-xossaga ko‘ra P(A) = 1 - P(A) va A1 aksiomaga asosan 0 < P (A) < 1.
4. A с ekanligidan В = (В - A) + A va (B - A)A = 0 . A3 aksiomaga ko‘ra
P(B) = P (В - A) + P(A), ammo P(B - A) > 0 bo‘lgani uchun P(A) < P (B ).
5. A + A + ••• + A =Q tenglik, A2 va A3 aksiomalarga ko‘ra
P(A1 + A2 + ••• + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ••• + P(An ) .

A va B hodisalar biror tajribadagi hodisalar bo‘lsin.

S B hodisaning A hodisa ro ‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
P(A' B) (P(A) * 0) (1.11.1) P(A) v >
nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni P(B / A) orqali belgilaymiz.
Shartli ehtimollik ham Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:
1. P( / A) > 0;
2 P(Q / A) = P(Q- A) = = 1-
P( A) P( A) ’
Ehtimolning klassik ta ’rifiga ko‘ra Q - elementar hodisalar fazosi
chekli b o ‘lgandagina hisoblashimiz mumkin. Agar Q cheksiz teng
imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lsa, geometrik
ehtimollikdan foydalanamiz.
O ‘lchovli biror G soha berilgan
bo‘lib, u D sohani o ‘z ichiga olsin.
G sohaga tavakkaliga tashlangan X
nuqtani D sohaga tushishi ehtimolligini
hisoblash masalasini k o ‘ramiz. Bu yerda
X nuqtaning G sohaga tushishi muqarrar
va D sohaga tushishi tasodifiy hodisa
bo‘ladi. A = {X e D} -X nuqtaning D sohaga tushish hodisasi bolsin.

A hodisaning geometrik ehtimolligi deb, D soha o ‘lchovini G soha

o‘lchoviga nisbatiga aytiladi, y a ’ni
P(A) = mes{D} ,
mes{G} ’
bu yerda mes orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.

Birinchi bo‘lak uzunligini x,

ikkinchi bo‘lak uzunligini bilan
belgilasak, uchinchi bo‘lak uzunligi l-x-y
bo‘ladi. Bu yerda Q = {(x,>’) : 0 'ya’ni o’uzunliklarining barcha b o ‘lishi mumkin
bo‘lgan kombinatsiyasidir. Bu
bolaklardan uchburchak yasash
mumkin b o lish i uchun quyidagi shartlar
* bajarilishi kerak: x+ y> i-x-y,
x + l - x - y > y, y + l - x - y > x .

Bulardan x < 1 , y < 1 , x + y > 1 ekanligi kelib chiqadi.

Bu tengsizliklar 7-rasmdagi b o ‘yalgan sohani bildiradi. Ehtimollikning
geometrik ta ’rifiga ko‘ra:
1 1 1
mes{A} _ 2 2 2 = 1
4 ’
P( A) =
mes{G} 1
Birinchi kishi kelgan momentni x, ikkinchisinikini y bo‘lsin:
0 < x < 60, 0 < y < 60 U holda ularning
uchrashishlari uchun |x - y < 15
tengsizlik bajarilishi kerak.
Demak, Q = {(x,y):0 < x < 60,0 < y < 60},
A = {(x,y): |x - y < 15}. x va y larni Dekart
koordinatalar
tasvirlaymiz
U holda
tekisligida
1
P( A) =
( 602 - 2 — • 45 • 45 _ mes{A} _ 2 _ '
mes{G} 602

Bertarn paradoksi rassel paradoksi deb ham nomlanadi.Bertran paradoksida ikkita o'zaro bog'liq mantiqiy antinomiya mavjud.

Bertran paradoksining ikki shakli

Eng ko'p muhokama qilinadigan shakl - bu o'rnatilgan mantiqdagi ziddiyat. Ba'zi to'plamlar o'zlarining a'zolari kabi ko'rinadi, boshqalari esa yo'q. Barcha to'plamlarning to'plami o'zi to'plamdir, shuning uchun u o'ziga murojaat qilganga o'xshaydi. Nolinchi yoki bo'sh, ammo uning a'zosi bo'lmasligi kerak. Shuning uchun, barcha to'plamlar to'plami, nol kabi, o'z ichiga kirmaydi. Paradoks, to'plam o'zi uchun a'zo bo'ladimi degan savol tug'ilganda paydo bo'ladi. Bu mumkin bo'lsa va mumkin bo'lmasa.

Paradoksning yana bir shakli - mulkiy qarama-qarshilik. Ba'zi xususiyatlar o'zlariga tegishli bo'lib tuyuladi, boshqalari esa amal qilmaydi. Mulk bo'lish xususiyati o'zi mulkdir, mushuk bo'lish xususiyati esa emas. O'ziga tegishli bo'lmagan mulkka ega bo'lish xususiyatini ko'rib chiqing. O'ziga tegishli bo'ladimi? Shunga qaramay, buning teskarisi har qanday taxmindan kelib chiqadi. Paradoks 1901 yilda kashf etgan Bertran Rassel (1872-1970) sharafiga nomlangan.

Rassellning kashfiyoti uning Matematika tamoyillari ustida ishlashi paytida yuz berdi. Garchi u paradoksni o'zi kashf etgan bo'lsa-da, boshqa matematiklar va nazariyotchilar, shu jumladan Ernst Zermelo va Devid Xilbertlar ziddiyatning birinchi versiyasi haqida oldin bilishganiga oid dalillar mavjud. Biroq, Rassell nashr etilgan asarlarida paradoksni birinchi bo'lib batafsil muhokama qildi, birinchi bo'lib echimlarni shakllantirishga harakat qildi va birinchi bo'lib uning ahamiyatini to'liq angladi. Ushbu savolni muhokama qilishga Printsiplarning butun bobi bag'ishlandi va qo'shimcha Rassel yechim sifatida taklif qilgan turlar nazariyasiga bag'ishlandi.

Rassell "yolg'onchi paradoks" ni Kantorning teoremasini ko'rib chiqishda kashf etdi, unda har qanday to'plamning tubligi uning kichik to'plamlari to'plamlaridan kamligini ta'kidlaydi.Hech bo'lmaganda domendagi elementlar soni qancha bo'lishi kerak, agar har bir element uchun bitta to'plam faqat shu elementni o'z ichiga olgan to'plam bo'lsa. Bundan tashqari, Kantor elementlarning soni pastki to'plamlar soniga teng bo'lishi mumkin emasligini isbotladi. Agar ularning soni bir xil bo'lsa edi, unda elementlarning pastki to'plamlariga xaritalaydigan ƒ funktsiyasi bo'lishi kerak edi. Shu bilan birga, buning iloji yo'qligini isbotlash mumkin. Ba'zi elementlarni the funktsiyasi orqali ularni o'z ichiga olgan kichik guruhlarga solishtirish mumkin, boshqalari esa buni qila olmaydi.

Ularning rasmlariga tegishli bo'lmagan elementlarning quyi qismini ko'rib chiqing, ular ichiga ƒ ularni tushiradi. Bu o'zi elementlarning to'plamidir va shuning uchun funktsiya uni domendagi ba'zi elementlarga moslashtirishi kerak. Muammo shundaki, u holda ushbu element o'zi xaritalagan pastki qismga tegishli bo'ladimi degan savol tug'iladi. Bu faqat tegishli bo'lmagan taqdirda mumkin. Rassellning paradoksini xuddi soddalashtirilgan, xuddi shu fikrlashning misoli sifatida ko'rish mumkin. Yana nima - to'plamlar yoki to'plamlarning pastki to'plamlari? Ko'proq to'plamlar bo'lishi kerak edi, chunki barcha to'plamlarning barchasi o'zlari to'plamdir. Ammo agar Kantor teoremasi to'g'ri bo'lsa, unda ko'proq kichik to'plamlar bo'lishi kerak.

Rassel o'zlariga to'plamlarning eng oddiy xaritasini ko'rib chiqdi va Kantorian yondashuvini ushbu xaritalarga kiritilgan to'plamlarga kiritilmagan barcha elementlarning to'plamini ko'rib chiqishda qo'lladi. Rassell xaritasi o'zida mavjud bo'lmagan barcha to'plamlar to'plamiga aylanadi.

Yolg'onchining paradoksasi to'plamlar nazariyasining tarixiy rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi. U universal to'plam tushunchasi nihoyatda muammoli ekanligini ko'rsatdi. Shuningdek, u siz aniqlagan har bir shart yoki predikat uchun faqat shu shartni qondiradigan narsalar to'plamining mavjudligini taxmin qilishingiz mumkin degan tushunchani shubha ostiga qo'ydi. Paradoksning xususiyatlarga taalluqli varianti - to'plamning tabiiy davomi - mulkning ob'ektiv mavjudligini yoki har bir aniqlangan shartga yoki predikatga universal muvofiqlikni tasdiqlash mumkinmi degan jiddiy shubhalarni keltirib chiqardi.

Tez orada bunday taxminlarni qilgan mantiqchilar, faylasuflar va matematiklarning asarlarida ziddiyatlar va muammolar topildi. 1902 yilda Rassel paradoksning bir versiyasini 19-asr oxiri va 20-asr boshlarida mantiqqa oid asosiy ishlardan biri bo'lgan Gottlob Frejning "Arifmetika asoslari" asarining I jildida ishlab chiqilgan mantiqiy tizimda ifodalash mumkinligini aniqladi. Frege falsafasida majmua tushunchaning "kengayishi" yoki "ma'no-diapazoni" deb tushuniladi. Tushunchalar xususiyatlarga eng yaqin bog'liqdir. Ular har bir holat yoki predikat uchun mavjud deb taxmin qilinadi. Shunday qilib, uning aniqlovchi tushunchasiga kirmaydigan to'plam tushunchasi mavjud. Ushbu kontseptsiya bilan belgilangan sinf ham mavjud va agar u bo'lmasa, uni belgilaydigan tushunchaga kiradi.

Ushbu ziddiyat to'g'risida Rassel 1902 yil iyun oyida Fregega yozgan. Yozishmalar mantiq tarixidagi eng qiziqarli va muhokama qilinganlardan biriga aylandi. Frej paradoksning halokatli oqibatlarini darhol anglab etdi. Biroq, uning ta'kidlashicha, uning falsafasidagi xususiyatlarga oid qarama-qarshilik versiyasi tushunchalar darajalarini ajratish yo'li bilan hal qilingan.

Frej tushunchalarni argumentlardan haqiqat qadriyatlariga o'tish funktsiyalari sifatida tushungan. Birinchi darajali tushunchalar ob'ektlarni argument sifatida qabul qiladi, ikkinchi darajali tushunchalar ushbu funktsiyalarni argument sifatida qabul qiladi va hokazo. Shunday qilib, kontseptsiya hech qachon o'zini argument sifatida qabul qila olmaydi va xususiyatlar haqidagi paradoksni shakllantirish mumkin emas. Shunga qaramay, Frege to'plamlarni, kengaytmalarni yoki tushunchalarni boshqa barcha ob'ektlar bilan bir xil mantiqiy turga ega ekanligini tushundi.Keyin, har bir to'plam uchun, uni belgilaydigan tushunchaga kiradimi degan savol tug'iladi.
Frege Rassellning birinchi xatini olganida, "Arifmetika asoslari" ning ikkinchi jildi allaqachon nashr etilayotgandi. U tezda Rasselning paradoksiga javob beradigan ariza tayyorlashga majbur bo'ldi. Frejning misollarida bir qator mumkin bo'lgan echimlar mavjud edi. Ammo u mantiqiy tizimda o'rnatilgan abstraktsiya tushunchasini zaiflashtiradigan xulosaga keldi.
Asl nusxada, ob'ekt uni belgilaydigan tushunchaga kirgan taqdirdagina, to'plamga tegishli degan xulosaga kelish mumkin. Qayta ko'rib chiqilgan tizimda ob'ekt faqat to'plamga tegishli degan xulosaga kelish mumkin, agar u faqat ushbu to'plam emas, balki aniqlovchi to'plam tushunchasiga kirsa. Rassellning paradoksi paydo bo'lmaydi.
Biroq, bu qaror Frejni to'liq qondirmadi. Va buning sababi bor edi. Bir necha yil o'tgach, qayta ko'rib chiqilgan tizim uchun qarama-qarshilikning yanada murakkab shakli topildi. Ammo bu sodir bo'lishidan oldin ham, Frege o'z
qaroridan voz kechdi va uning yondashuvi shunchaki ishlamayotganligi va mantiqchilar umuman olmasdan bajarishi kerak degan xulosaga kelganga o'xshaydi.

XULOSA
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika “Geometrik ehtimollar va bertron paradoksi” mavzusidagi kurs ishini yozish jarayonida Ehtimollik nazariyasining dastlabki predmetlari va matematika fani rivojlanishida ehtimollik nazariyasini organgan olimlarni Geometrik tarkibni ehtimollikning statistikasi va xossalari paradokslar va bertron paradoksi kabi boshlang’ich tushinchalari kabi tushunchalar o‘rganildi.

Bundan tashqari Ehtimollik nazariyasi mavzusi ham to‘laligicha tushinildi. Bu mavzuga doir xossalari, ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorlar va ularning xossalari, uzluksiz tasodifiy miqdorlar ularning xossalari kabi tushunchalarga alohida to‘xtalib o‘tildi. Barchasini ta’rif , teorema yordamida o‘quvchiga tushintirildi. Ba’zi bir isbotlarni o‘quvchilarga havola qilindi.
Bundan tashqari turli xil ta’rif va teoremalar haqida yetarlicha ma’lumotlar berildi. Teoremalarning isbotlari tushinildi va o‘qib o‘rganildi . Misol va masalalarning ishlanish jarayonlari bilan tanishildi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. L.P.Stoylova, A.M.Pishkalo “Boshlang’ich matematika kursi asoslari”, Darslik, Toshkent, “O’qituvchi”-1991 yil.
2. A. Xudoyberganov “Matematika”, Darslik, Toshkent, “O’qituvchi”-1980 yil.
3. N.Ya.Vilenkin va boshqalar “Matematika”, Moskva, “Prosvesheniya”-1977
4. N.Ya.Vilenkin va boshqalar “Zadachnik praktikum po matematike”, Uchebnik, Moskva, “Prosvesheniya”-1977 y.
5. P.Ibragimov “Matematikadan masalalar to’plami”, O’quv qo’llanma, Toshkent, “O’qituvchi”-1995 yil.
6. P.Azimov, H.Sherboyev, Sh.Mirhamidov, A.Karimova “Matematika”, O’quv qo’llanma, Toshkent, “O’qituvchi”-1992 yil.
7.Sh.A. Ayupov, M.M Ibragimov, K.K.Kudoyberganov “Funksional analizdan misol masalalar" 2009
8. T.Yoqubov, S.Kallibekov “Matematik mantiq elementlari”, Toshkent, “O’qituvchi”-1996 yil.
9. T.Yoqubov “Matematik mantiq elementlari”, Toshkent, “O’qituvchi”-1983 y.
10. J.Ikromov,I.Axmadjonov“Maktab matematika lug’ati”,Toshkent,“O’qituvchi”-1973 yil.