Mavzu: Avtomatik boshqarish tizimining barqarorligi Reja: Avtomatik boshqarish tizimi

Mavzu: Avtomatik boshqarish tizimining barqarorligi
Reja:

1. 
   Avtomatik boshqarish tizimi
   
2. 
   ABT ishlashi uchun eng muhim shartlari
   
3. 
   Chiziqli statsionar avtomatik boshqarish tizimining barqarorligi nazariyasiga kirish
   
4. 
   "Barqarorlik" tushunchasining matematik ta'rifi
   
5. 
   Adabiyotlar
   

Avtomatik boshqarish tizimi (ABT), har qanday dinamik tizim kabi, doimo har xil ta’sirlar ostida bo‘lib, muvozanat holati buzilib, ularda o‘tkinchi jarayonlar kechadi. Bunday ta’sirlarga mashina yuklamasi, ta’minot energiyaqining birorta ko‘rsatkichi, mashina qismlaridagi qarshilik kuchlari yoki harakatining o‘zgarishi kabilari misol bo‘ladi. Natijada tizim muvozanat holatidan chiqib, o‘tkinchi jarayon tufayli nazorat qilinadigan qiymat o‘zgaradi, xato paydo bo‘ladi. Barqaror ABX ta’sir yo‘qolganidan keyin yana oldingi holatga qaytib keladi yoki ta’sir qolsa tizim yangi muvozanat holatini egallaydi. Bunda sifatli ABX muvozanat holatiga o‘tishda qiladigan xatosi va vaqti buzilgan miqorda bo‘ladi. Agar tizim sifatsiz bo‘lsa, xato katta bo‘lib, ishni yoki mahsulotni sifatiga, soniga, ishchi mashina yoki texnologiyaning shikastlanishiga yoki buzilishga olib keladi. Xuddi shuningdek beqaror ABX ham katta zarar yoki talofatlarga olib kelishi mumkin. SHu sababli beqaror ABT ishga yarosli bo‘lmaydi va u xavf tug‘diradi. Texnikadagi, tabiatdagi barcha haqiqiy tizimlar ozmi-ko‘pmi nochiziq bo‘ladi. Tizimlarning nochiziq bo‘lishiga haddan tashqari omillar ko‘pdir. SHu bilan birga ko‘pgina tizimlar chiziqlilikka yaqindir, shuning uchun ularni amaliyotda chiziqli deb olsa va loyihasini yaratsa katta xato bo‘lmaydi.

SHu bilan birga nochiziqli tizimlar hayot uchun muhim va ulardan to‘g‘ri va unumli foydalanish zarur.
Biz qaraydigan tizimlarni chiziqlashtirilgan deb hisoblaymiz. Bular qatoriga deyarli chiziqli va ma’lum chegarada chiziqlashtirilgan tizimlar kirishini e’tiborga olamiz. Umuman olganda tizim haqiqiy tizimni ideallashtirilgan modeli deb sarasa ham bo‘ladi.
ABT ishlashi uchun eng muhim shartlardan biri barqarorlikdir . Barqarorlikka ega bo'lmagan tizim boshqaruv funktsiyalarini umuman bajara olmaydi. Beqaror tizim boshqariladigan ob'ektni favqulodda holatga olib kelishi mumkin. Shuning uchun ABT barqarorligi muammosi avtomatik boshqaruv nazariyasidagi markaziy muammolardan biridir .
Keling, "barqarorlik" tushunchasining jismoniy ma'nosini ochib beraylik. Avtomatik boshqaruv va tartibga solish tizimining barqarorligi, tizimni ushbu holatdan olib kelgan ta'sir tugagandan so'ng, uning dastlabki muvozanat holatiga qaytish xususiyatidir .
Stabil bo'lmagan tizim asl holatiga qaytmaydi, lekin doimiy ravishda undan uzoqlashadi.
ABT ning beqarorligi, qoida tariqasida, asosiy fikrning noto'g'ri yoki juda kuchli harakati tufayli yuzaga keladi. Asosiy teskari aloqaning noto'g'ri ishlashi, odatda, tizimni o'rnatish paytida qilingan xato tufayli ulanish ijobiy (salbiy o'rniga) bo'lib chiqsa , bu tizimni amalda beqaror qiladi . Olingan beqarorlik deyiladi statik .
Beqarorlikning yanada murakkab va keng tarqalgan turi dinamik beqarorlikdir . U salbiy teskari aloqaga ega tizimlarda etarlicha katta daromadda (tizimning tartibi uchinchidan kam bo'lmaganda) o'zini namoyon qiladi. Dinamik beqarorlikning sababi odatda yopiq pastadir elementlarining sezilarli inertsiyasidir, buning natijasida tizimning tebranish rejimida asosiy qayta aloqa signali kirish signalidan sezilarli darajada orqada qoladi va u bilan fazada bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, konstruktiv ravishda salbiy (statik rejimda!) dinamikada (garmonik tebranishlar rejimida) qilingan ulanish ma'lum bir chastotada ijobiy sifatida namoyon bo'ladi.
4.1. Chiziqli statsionar avtomatik boshqarish tizimining barqarorligi nazariyasiga kirish
Chiziqli statsionar ABT barqarorligi va beqarorligining matematik mohiyatini ko'rib chiqing. Yuqorida keltirilgan jismoniy ta'rifga ko'ra, barqarorlik faqat tizimning erkin harakatining tabiatiga bog'liq. Chiziqli yoki chiziqli tizimning erkin harakati bir hil differentsial tenglama bilan tavsiflanadi
, (4.1)
bu erda x(t) = x _sv (t) - tizimning chiqish qiymatining erkin komponenti.
Tashqi ta'sir turiga va differentsial tenglamaning o'ng tomoniga (2.1) bog'liq bo'lgan chiqish qiymatining majburiy komponenti tizimning barqarorligiga ta'sir qilmaydi.
"Barqarorlik" tushunchasining matematik ta'rifi
Vaqt o'tishi bilan o'tish davrining erkin komponenti x _St (t) nolga moyil bo'lsa , tizim barqaror bo'ladi, ya'ni. agar
(4.2)
Shubhasiz, bu holda tizimning chiqish qiymati (2.1) tenglamaning o'ng tomoni bilan aniqlangan majburiy komponentga moyil bo'ladi. Vaziyat (4.2) ma'nosida barqarorlik odatda deyiladi asimptotik .
Erkin komponent cheksiz ravishda oshsa, ya'ni. agar
, (4.3)
keyin tizim beqaror .
Nihoyat, agar erkin komponent na nolga, na cheksizlikka intilsa, u holda tizim barqarorlik chegarasida bo'ladi.
(4.1) tenglama bilan tasvirlangan sistema barqaror bo'lgan umumiy shart topilsin. (4.1) tenglamaning yechimi
x _st (t) = , (4.4) 
bu erda C _k - boshlang'ich sharoitga qarab integrallash konstantalari;
p _k - xarakteristik tenglamaning ildizlari
. (4.5)
Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy ( p _k =  _k ), xayoliy ( p _k =j  _k ) va murakkab bo‘lishi mumkin.
p _k =  _k  j  _k , (4.6)
bundan tashqari, ham murakkab, ham xayoliy ildizlar juft konjugatdir.
Erkin komponent (4.4) agar shaklning har bir atamasi barqarorlik shartini qondiradi  . Vaqtning bu funksiyasining tabiati ildiz p _k shakliga bog'liq .
Xarakterli tenglamaning ildizlarini murakkab tekislikda joylashtirishning barcha mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqing (4.1-rasm) va tegishli funktsiyalar x _sv (t) , ular doira ichida ko'rsatilgan (ossiloskop ekranidagi kabi)

4.1. Xarakteristik tenglama ildizlarining uning tarkibiy qismlariga ta'siri
erkin harakat
1) (4.4) eritmadagi har bir haqiqiy ildiz p _k =  _{k shakldagi hadga mos keladi.}
x _st k (t) = . (4.7)
Agar  _k <0 (ildiz p ₁ ) bo'lsa, (4.7) funksiya silliq ravishda nolga intiladi. Agar  _k >0 (ildiz p ₃ ) bo'lsa, u holda funktsiya (4.7) cheksiz ortadi. Agar  _k =0 (ildiz p ₂ ) bo'lsa, bu funktsiya doimiy bo'lib qoladi.
2) (4.4) eritmadagi p _k =  _k +j  _k va p _k+1 =  _k -j  _k juft birikma kompleks ildizlarning har bir jufti bitta hadga birlasha oladigan ikkita hadga mos keladi.
x _st k (t) = 2  sin(  _k t+  _k ) . (4.8)
Funktsiya (4.8) chastotasi  _k va amplitudasi eksponent ravishda o'zgaruvchan bo'lgan sinusoiddir. Agar  _k < 0 bo'lsa (4.1-rasmdagi p ₄ va p ₅ ildizlari ), u holda tebranish komponenti (4.1-rasm) parchalanadi.
Agar  _k > 0 (ildizlar p ₈ va p ₉ ) bo'lsa, u holda tebranish amplitudasi cheksiz ortadi. Nihoyat, agar  _k = 0 (ildizlar p ₆ va p ₇ ), ya'ni. ikkala konjugat ildiz xayoliy ( p _k =j  _k , p _k+1 =-j  _k ), keyin x _St k (t)=2  sin(  _k t+  _k ) - susaytirmagan sinusoid _k .
Agar (4.5) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida l teng ildiz p _l bo'lsa, u holda (4.4) yechimda l ko'rinishdagi hadlar o'rniga  bitta komponent paydo bo'ladi .
. (4.9)
Har qanday b uchun shaklning funksiyasi shaklning o'sishi shartlariga qaraganda tezroq kamayishini hisobga  olsak, biz ildizlarning ko'pligi holatida (4.4) yechim faqat haqiqiy qism bo'lsa, nolga moyil bo'lishini isbotlashimiz mumkin. bir nechta ildizlardan p _l manfiy .
O'tkazilgan tahlillarga asoslanib, biz umumiy barqarorlik holatini shakllantirishimiz mumkin :
C hiziqli statsionar ABT barqarorligi uchun tizimning xarakteristik tenglamasining barcha ildizlarining haqiqiy qismlari manfiy bo'lishi zarur va etarli .
Bunda xayoliy qism nolga teng bo'lgan murakkab ildizlarning alohida holati sifatida haqiqiy ildizlar ko'rib chiqiladi. Agar kamida bitta ildiz ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, unda tizim beqaror bo'ladi.
Tizimning barqarorligi faqat xarakteristik tenglamaning ildizlari shakliga bog'liq va tizimga tashqi ta'sirlarning tabiatiga bog'liq emas. Barqarorlik - bu tashqi sharoitlardan qat'i nazar, tizimning ichki xususiyati.
Ildizlarning geometrik tasviridan ( 4.6 ) kompleks tekislikda (4.1-rasmga qarang) vektorlar yoki nuqtalar ko'rinishida foydalanib, umumiy barqarorlik shartining ikkinchi formulasini (asosiy holatga teng) berishimiz mumkin :
C hiziqli statsionar ABT barqarorligi uchun xarakterli tenglamaning barcha ildizlari chap yarim tekislikda bo'lishi zarur va etarli .
Agar kamida bitta ildiz o'ng yarim tekislikda bo'lsa, unda tizim beqaror bo'ladi.
Xayoliy o'q j  (4.1-rasm) ildizlar tekisligidagi barqarorlik chegarasi. Agar xarakteristik tenglama bir juft xayoliy ildizga ega bo'lsa ( p _k =j  _k , p _k+1 =-j  _k ), u holda tizimda aylana chastotasi  =  _k  bo'lgan so'ndirilmagan garmonik tebranishlar o'rnatiladi . Bunday holda, tizim tebranish barqarorligi chegarasida bo'ladi.
Xayoliy o'qdagi  = 0​​nuqtasi nol ildiz deb ataladigan narsaga mos keladi. Agar xarakteristik tenglama bitta nol ildizga ega bo'lsa, u holda tizim aperiodik barqarorlik chegarasida bo'ladi. Agar ikkita bunday ildiz mavjud bo'lsa, u holda tizim beqaror (ikkita ketma-ket ulangan integratsiya aloqasi barcha chastotalar uchun -180 faza siljishini yaratadi).
Shunday qilib, chiziqli statsionar ABTning barqarorligini baholash uchun xarakterli tenglama ildizlarining haqiqiy qismlarining belgilarini aniqlash kifoya. Ammo buning uchun xarakterli tenglamaning ildizlarini hisoblash kerak.
TAU bir qator usullarni ishlab chiqdi, ular yordamida ildizlarning raqamli qiymatlarini topmasdan, ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lgan ildizlar mavjudligini aniqlash mumkin. Ushbu usullar barqarorlik mezonlari deb ataladi .