|
3.4. Хосмас интеграллар.
Маълумк и, ани= интеграл тушунчаси киритилганда, интеграллаш кесмаси [a;b] нинг чекли эканлиги ва интегралланувчи функция f(x) нинг мазкур кесмада узлуксзлиги фараз =илинган эди. Агар ушбу шартлардан бирортаси бажарилмаса, «одатдагидек» ани= интеграл тушунчасини киритиб былмайди. Шу маънода =аралганда бу холдаги интеграл «одатдагидек былмаган» яъни хосмас интеграл деб юритилади.
+уйида уларнинг икки хилини кыриб чи=амиз.
Чегаралари чексиз хосмас интеграллар.
Айтайлик, f(x) функция [a; +¥) да узлуксиз бўлсин. У холда мазкур функциянинг [a; +¥) даги хосмас интеграли , =уйидаги тенглик билан ани=ланади:
Агар ушбу тенгликнинг унг томонидаги лимит мавжуд былса, у холда хосмас интеграл я=инлашувчи дейилади ва лимит интегралнинг =иймати сифатида =абул =илинади.
Агарда кырсатилган лимит мавжуд былмаса, хосмас интеграл узоқлашувчи дейлади.
каби хосмас интеграл щам айнан ю=оридагига ыхшаш ани=ланади.
Шунингдек, агар f(x) функция (-¥;+¥) да узлуксиз былса, у холда умумлашган хосмас интеграл =уйидагича ани=ланади:
.
Ушбу тенгликнинг унг томонидаги щар иккала хосмас интеграл щам я=инлашувчи былса, у холда чап томондаги хосмас интеграл щам я=инлашувчи былади. Аксинча, агар ынг томондаги хосмас интеграллардан щеч былмаганда бирортаси узо=лашувчи былса, ынг томондаги хосмас интеграл щам узо=лашувчи былади.
1-Мисол. Демак, мазкур хосмас интеграл я=инлашувчи ва =иймати 1 га тенг экан.
2-Мисол.
3-Мисол.
Аммо, охирги лимит мавжуд эмас. Шунинг учун мазкур хосмас интеграл узо=лашувчидир.
4-Мисол. ҳисоблансин.
Ечими. Таърифга асосан,
1. Чегараланмаган (чексиз) функцияларнинг хосмас интеграллари
Агар f(x) функция (с; b] ярим очи= орали=да узлуксиз былиб, x=c чап чегаравий ну=тада ани=ланмаган ёки 2-тур узилишга эга былса, мазкур функциянинг хосмас интеграли каби белгиланиб, у =уйидаги тенглик билан ани=ланади:
Ушбу тенгликнинг ынг томонидаги лимит мавжуд былса, у холда хосмас интеграл я=инлашувчи дейилиб, акс холда эса узо=лашувчи дейилади.
Агар f(x) функция [a;c) ярим очи= орали=да узлуксиз былиб, x=c ынг чегаравий ну=тада ани=ланмаган ёки 2-тур узилишга эга былса, унинг хосмас интеграли щам ю=оридагидек ани=ланади.
Умуман, [a;b] кесманинг бирон бир x=c орали= ну=тасида ани=ланмаган ёки чексиз узилишга эга былган f(x) функциянинг хосмас интеграли =уйидагича ани=ланади:
Бу хосмас интегралнинг я=инлашувчи былиши учун тенгликнинг ынг томонидаги щар иккала хосмас интеграллар щам я=инлашувчи былишлари лозим, акс холда, яъни улардан ҳеч бўлмаганда биттаси узо=лашувчи былса щам мазкур хосмас интеграл узо=лашувчи былади.
Эслатма: Одатда, 1-бандда =аралган хосмас интегралларни I-тур хосмас интеграллар ва 2-бандда =аралганларни II-тур хосмас интеграллар щам деб юритилади.
+уйидаги мисолларда берилган 2-тур хосмас интеграллар текширилсин.
1-Мисол.
Демак, интеграл я=инлашувчидир.
2-Мисол.
- интеграл узо=лашувчи экан.
3-Мисол. каби 2-тур хосмас интегралдаги интегралланувчи функция x=0 да ани=ланмаган. Шунинг учун уни иккита хосмас интегралларнинг йи\индиси шаклида ифодалаб оламиз:
ынг томондаги хосмас интегралларни текширамиз:
Иккинчи хосмас интегрални текширишнинг хожати йы=, чунки биринчи =ышилувчи хосмас интеграл узо=лашувчи экан. Демак, мазкур хосмас интеграл щам узо=лашувчидир.
4-Мисол.
+аралаётган хосмас интеграл узо=лашувчи, чунки arcsin1,5 мавжуд эмас.
МустаҚил ечиш учун мисоллар
1.
|
|
6.
|
|
11.
|
|
16.
|
|
2.
|
|
7.
|
|
12.
|
|
17.
|
|
3.
|
|
8.
|
|
13.
|
|
18.
|
|
4.
|
|
9.
|
|
14.
|
|
19.
|
|
5.
|
|
10.
|
|
15.
|
|
20.
|
|
2. Та==осл аш теоремалари.
Агар f(x) функцияга бошлан\ич функцияни топиш =ийин былса, ёки умуман топиш мумкин былмаса, у холда хосмас интегралларни текшириш, та==ослаш теоремалари ор=али хал =илиниши мумкин.
Агар f(x) ва j(x) функциялар [a;+¥)да шартни =аноатлантириб, я=инлашувчи былса, щам я=инлашувчи былади, аксинча, агар узо=лашувчи былса, щам узо=лашувчи былади.
Агар f(x) функциянинг [a;+¥) да ишораси ызгарувчи былса, у холда нинг я=инлашувчи былиши учун я=инлашувчи былиши лозим. Бунда ни мутло= я=инлашувчи деб юритилади. Агар я=инлашувчи былиб, узо=лашувчи былса, ни шартли я=инлашувчи деб аталади.
Ю=орида баён этилган теоремалар , ва умуман каби интеграллар учун щам ыринлидир. Шунингдек 2-тур хосмас интегралларни текшириш учун щам мазкур та==ослаш теоремаларидан фойдаланилади.
Амалиётда та==ослаш функциялари сифатида кыпинча кырсаткичли ва даражали функциялар =ылланилади.
1-Мисол. текширилсин.
Ечилиши. былганлиги ва я=инлашувчи былганлиги учун мазкур хосмас интеграл нафа=ат я=инлашувчи, балки мутла= я=инлашувчидир.
2-Мисол. ни текшириш учун ни текширамиз. былганлигидан ва нинг узо=лашувчанлигидан, мазкур хосмас интеграл щам узо=лашувчидир.
+уйидаги хосмас интеграллар текширилсин.
Do'stlaringiz bilan baham: |
