Лекция 7 Дифференциальные уравнения второго порядка

Лекция 7


Дифференциальные уравнения второго порядка


Вопросы:

1. 
   Дифференциальные уравнения второго порядка.
   
2. 
   Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Их решение.
   
3. 
   Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
   
4. 
   Метод подбора частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.
   

9.4.1. Дифференциальные уравнения второго порядка
Определение 9.17. Дифференциальным уравнением второго порядка называется дифференциальное уравнение, которое имеет вид
(9.6)
Определение 9.18. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция которая зависит от произвольных постоянных С₁ и С₂ и при этом выполнены условия:
1) она удовлетворяет дифференциальному уравнению (9.6) при любых конкретных значениях С₁ и С₂;
2) каковы бы ни были начальные условия при , существуют , такие, что функции и удовлетворяют начальным условиям.
Функция — частное решение (9.6).
Рассмотрим наиболее простой вид дифференциальных уравнений второго порядка — линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.


9.4.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 9.19. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно содержит только первые степени , т.е. имеет вид
, (9.7)
где могут быть некоторыми функциями от х, причем . Мы рассмотрим только случай, когда — некоторые константы. Если уравнение называется неоднородным. Если , т.е. уравнение вида
_(9.8)
называется однородным.
Теорема 1. Если и — решения уравнения , такие, что их отношение не равно постоянной величине то линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения.
Теорема 2. Общее решение неоднородного уравнения можно составить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти решение неоднородного линейного уравнения, необходимо уметь решать однородные уравнения.