Korrelyatsion tahlil

Korrelyatsion tahlil
Tarkib

Aloqa shaklini aniqlash

Aloqa shaklini tanlash
Aloqa analitik ifodasi
Aloqa yaqinligini o'lchash
Bir nechta korrelyatsiya
Aloqa torligini o'lchash usullari
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati
1 aloqa shaklini aniqlash

Korrelyatsiya tahlillari ikkita asosiy vazifani hal qiladi:

Birinchi vazifa aloqa shaklini aniqlashdir, ya'ni. bu aloqani ifodalovchi matematik shaklni o'rnatishda.
Bu juda muhimdir, chunki belgilar o'rtasidagi munosabatlarni o'rganishning yakuniy natijasi aloqa shaklini to'g'ri tanlashga bog'liq.
Ikkinchi vazifa torlikni o'lchashdir, ya'ni. bu omilning natijaga ta'siri darajasini aniqlash uchun belgilar orasidagi aloqa choralari.
Korrelyatsion tenglama parametrlarini aniqlash orqali matematik tarzda hal etiladi.
Keyinchalik olingan natijalarni baholash va tahlil qilish korrelyatsiya usulining maxsus ko'rsatkichlari (determinatsiya koeffitsientlari, lineer va ko'p korrelyatsiya va boshqalar) yordamida amalga oshiriladi, shuningdek o'rganilayotgan xususiyatlar o'rtasidagi aloqaning ahamiyatini tekshiradi.

2 aloqa shaklini tanlash

Hodisalar orasidagi aloqa shaklini tanlashda hal qiluvchi rol nazariy tahlilga tegishli. Misol uchun, korxonaning asosiy kapitalining hajmi (omil belgisi) qanchalik katta bo'lsa, boshqa narsalar teng bo'lsa, u mahsulotlarni ishlab chiqaradi (samarali xususiyat).
Bu erda faktor xususiyatining o'sishi bilan, odatda, bir xil o'sadi va samaralibo'ladi, shuning uchun ular orasidagi bog'liqlika+bchiziqli regressiya tenglamasi deb ataladigan y=a+b*x tenglamasi bilan ifodalanishi mumkin.
B parametri regressiya koeffitsienti deb ataladi va у приfaktor xususiyatlarining bir birlik qiymatiga qarab o'zgarganda, y ning samarali xususiyatining qiymati o'rtacha darajada rad etilganligini ko'rsatadi. X = 0 a = Y. da, o'g'itlar sonining ko'payishi, boshqa narsalar teng, hosilning o'sishiga olib keladi, lekin boshqa elementlarni o'zgartirmasdan ularni ortiqcha kiritish rentabellikni yanada oshirishga olib kelmaydi, aksincha, uni kamaytiradi.
Bunday qaramlik parabola y=a+b*x+c*x2 tenglamasi bilan ifodalanishi mumkin.
C parametri parabola egriligining tezlashishi yoki sekinlashishi darajasini tavsiflaydi va c > 0 parabol minimal va C> B parametri egri burchagi burchagini ifodalaydi va a parametri egri boshlanishi hisoblanadi.
Biroq, nazariy tahlil yordamida aloqa shaklini o'rnatish har doim ham mumkin emas. Bunday hollarda faqat ma'lum bir aloqa shakli mavjudligini taxmin qilish kerak. Ushbu taxminlarni tekshirish uchun grafik tahlil yordamida amalga oshirilishi mumkin, bu hodisalar orasidagi aloqa shaklini tanlash uchun ishlatiladi, garchi aloqani o'rganishning grafik usuli mustaqil ravishda qo'llaniladi.

3 aloqa analitik ifodasi

Korrelyatsion tahlil usullarini qo'llash analitik belgilar - tenglama shaklida o'zaro bog'liqlikni ifodalashga va uni miqdoriy ifodalashga imkon beradi. Muayyan misol bilan korrelyatsiya tahlil usullarini qo'llashni ko'rib chiqing.
Aytaylik, asosiy kapitalning qiymati va ishlab chiqarishni chiqarish o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri Y=a+b*x tenglamasi bilan ifodalanadigan tekis aloqa mavjud.
Topish kerak a va b parametrlari deb belgilab beradi nazariy qadriyatlar Y uchun turli qiymatlari x. Bundan tashqari, a va b bo'lishi kerak, bunday deb bor yetdi maksimal yondashuv uchun dastlabki (empirik) qiymatlari nazariy qadriyatlar Y. Bu muammo bo'lishi mumkin, hal yordamida usul kam, maydon, asosiy holat hisoblanadi tushgan aniqlash parametrlari a va b, shunday qilib,


A va b parametrlari eng kichik kvadratchalar usuli talabiga javob beradigan ikkita oddiy tenglama tizimi yordamida aniqlansa, minimal holat ta'minlanganligi matematik tarzda isbotlangan:

Birinchi tenglama barcha dastlabki tenglamalarning yig'indisidir. Ikkinchidan, tekis chiziq tenglamasining har ikki qismini bir xil multiplikator bilan ko'paytirish orqali erishiladi.

Математически доказано, что условие Bunday omil sifatida faktor xususiyatining qiymatini qabul qilish sharti bilan, masalan, to'g'ridan-to'g'ri tenglama x bilan ko'paytirilsa, matematik tarzda tasdiqlangan.iqtisodiy tahlilda ko'rib chiqilgan aloqa funktsiyalaridan tashqari, kuch, indikativ va giperbolik funktsiyalar ko'pincha qo'llaniladi. Quvvat funktsiyasi y=axb shakliga ega.
Quvvat tenglamasining b parametri elastiklik ko'rsatkichi deb ataladi va уx ning 1 % ga oshishi bilan qancha foiz o'zgarishini ko'rsatadi. X = 1 a = y bilan.
Quvvat funktsiyasining parametrlarini aniqlash uchun dastlab logaritma orqali lineer turga olib keladi: lg y=lg a + blg x va keyin oddiy tenglamalar tizimini yaratish:


Ikki oddiy tenglama tizimini hal qilib, a va b logaritmik funktsiyasi parametrlarining logaritmalarini topadi, so'ngra a va b parametrlari. quvvat funktsiyasi yordamida, masalan, ish haqi jamg'armasi va ishlab chiqarish, mehnat xarajatlari va ishlab chiqarish va boshqalar o'rtasidagi bog'liqlik aniqlanadi.
Agar omil x arifmetik progressiyada o'ssa va samarali y-geometrik bo'lsa, unda bu qaramlik y=a+bx indikativ funktsiyasi bilan ifodalanadi. Ko'rsatkich funktsiyasining parametrlarini aniqlash uchun dastlab logaritma orqali lineer ko'rinishga olib keladi: lg y=lg a + xlg b, so'ngra oddiy tenglamalar tizimini yaratish:

Tegishli ma'lumotlarni hisoblab, ikkita oddiy tenglama tizimini hal qilib, a va b indikativ funktsiyasining parametrlarini toping.

Ba'zi hollarda omil va samarali xususiyatlar o'rtasidagi teskari aloqa giperbole tenglamasi bilan ifodalanishi mumkin:
Y=a+b/x.
Va bu erda vazifa a va b parametrlarini ikkita oddiy tenglama tizimi yordamida topishdir:

Hiperbolik funktsiyadan foydalanib, masalan, ishlab chiqarish va ishlab chiqarish xarajatlari, aylanma xarajatlar darajasi (кsavdo aylanmasining ulushi va savdo aylanmasi, tozalash muddati va rentabellik va boshqalar) o'rtasidagi munosabatlar o'rganiladi.

Shunday qilib, turli funktsiyalarni aloqa tenglamasi sifatida qo'llash oddiy tenglamalar tizimi yordamida eng kichik kvadratchalar usuli bilan tenglama parametrlarini aniqlashga kamayadi.
Kichik agregatlarda regressiya koeffitsientining qiymati tasodifiy o'zgarishlarga olib keladi. Shuning uchun regressiya koeffitsientining ishonchliligini aniqlash kerak bo'ladi. Regressiya koeffitsientining ishonchliligi selektiv kuzatishda bo'lgani kabi aniqlanadi, ya'ni tanlangan o'rtacha va ulush uchun o'rtacha va marginal xatolar belgilanadi.
Regressiya koeffitsientining o'rtacha xatosi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

qaerda S20-tasodifiy dispersiya;

S2 - umumiy Varyans,
n-korrelyatsiya qilingan juftliklar soni.

4 aloqa torligini o'lchash

Ikkala belgi orasidagi to'g'ri aloqaning torligini o'lchash uchun r tomonidan ko'rsatilgan juftlik korrelyatsiya koeffitsientidan foydalaning.
O'zaro bog'liqlik argumentning o'zgarishi bilan bog'liq funktsiyaning ortishi bilan emas, balki samarali va faktor xususiyatlarining o'zaro o'zgarishi bilan bog'liq bo'lganligi sababli, aloqaning yaqinligini aniqlash, aslida, bu juftlikni o'rganishga kamayadi, ya'ni.bir belgining o'rtacha darajasidan og'ish boshqa birining sapması bilan bog'liq. Bu shuni anglatadiki, agar to'liq to'g'ridan-to'g'ri aloqa mavjud bo'lsa, barcha qiymatlar (x-X) va (y - Y) bir xil belgilarga ega bo'lishi kerak, to'liq teskari aloqa bilan farq qiladi, qisman aloqalar mavjud bo'lgan hollarda belgilar bir xil bo'ladi va aloqa bo'lmasa - taxminan teng hollarda.
Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini baholash uchun r ning maxsus ishlab chiqilgan kritik qiymatlari jadvalidan foydalaning.
R korrelyatsiya koeffitsienti faqat hodisalar o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik mavjud bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Agar aloqa egri bo'lsa, unda quyidagi formula bo'yicha hisoblangan korrelyatsiya indeksidan foydalaning:

bu erda y - asl qiymatlar;

- o'rtacha qiymat;
Y-o'zgaruvchan qiymatning nazariy (hizalanmış) qiymatlari.
Qoldiq, tasodifiy dispersiyaning ko'rsatkichi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

U nazariy Y, ya'ni tasodifiy o'zgarish natijasida y ning ampirik qiymatlarining sapmalarini tavsiflaydi.

Umumiy dispersiya:

ot ning samarali xususiyatining ampirik qiymatlarining sapmalar hajminiу от , ya'ni umumiy o'zgarishni tavsiflaydi.

Tasodifiy varyansın umumiy varyasyona nisbati, umumiy varyasyonda tasodifiy o'zgarish ulushini ifodalaydi va

umuman olganda omil o'zgarishining nisbati emas, chunki dispersiyalarni qo'shish qoida bo'yicha umumiy dispersiya faktor va tasodifiy dispersiyalar yig'indisiga teng:

σ2=σ2Y+σ20.

Korrelyatsiya indeksining formulasida tasodifiy, umumiy va faktor dispersiyasining tegishli belgilarini almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, korrelyatsiya indeksi umumiy omil o'zgarishining ulushini tavsiflaydiв:

biroq, faqat farq bilan, guruh o'rtacha o'rniga y nazariy qiymatlari olinadi.

Uning mutlaq qiymati bo'yicha korrelyatsiya indeksi 0 dan 1 gacha o'zgarib turadi.
Funktsional qaramlikda tasodifiy o'zgarish , korrelyatsiya indeksi 1. Aloqa bo'lmasa, R = 0, chunki Y = y.
Korrelyatsiya koeffitsienti faqat lineer aloqa shakli uchun tor aloqa o'lchovidir va korrelyatsiya indeksi ham chiziqli, ham egri uchun. To'g'ridan-to'g'ri aloqa bilan korrelyatsiya koeffitsienti mutlaq qiymati bilan korrelyatsiya indeksiga teng:

|r|=R.

Agar korrelyatsiya indeksi kvadratga ko'tarilsa, biz aniqlash koeffitsientini olamiz

R2=σ2Y/σ2.

Bu umumiy o'zgarishdagi omil o'zgarishining rolini tavsiflaydi va H2 ning korrelyatsion munosabatiga o'xshaydi.
Korrelyatsiya nisbati kabi, R2 determinatsiya koeffitsienti dispersiyani tahlil qilish orqali hisoblab chiqilishi mumkin, chunki dispersiyani tahlil qilish umumiy наfarqni faktor va tasodifiy ravishda ajratish imkonini beradi.
Biroq, dispersiyani ajratish uchun dispersiyani tahlil qilishda guruhlash usuli qo'llaniladi va korrelyatsion tahlilda korrelyatsiya tenglamalari qo'llaniladi.
Determinatsiya koeffitsienti eng aniq ko'rsatkichdir, chunki u umumiy natijadagi ulushning guruhlash bazasiga qo'yilgan omilga bog'liqligini savolga javob beradi.
To'g'ri juftlikda faktor dispersiyasi quyidagi formula bo'yicha nazariy y qiymatlarini hisoblamasdan aniqlanishi mumkin:


5 bir nechta korrelyatsiya

Hozirgacha biz ikki xususiyat o'rtasidagi korrelyatsiya aloqalarini ko'rib chiqdik: samarali (y) va faktor (x). Masalan, mahsulot ishlab chiqarish nafaqat asosiy kapitalning hajmiga, balki ishchilarning malakasi darajasiga, asbob-uskunalarning holati, xom ashyo va materiallarning xavfsizligi va sifati, mehnatni tashkil etish va boshqalarga bog'liq. Bu ko'plik korrelyatsiyasi bilan bog'liq.

Bir nechta korrelyatsiya uchta muammoni hal qiladi. U quyidagilarni belgilaydi:
aloqa shakli;
aloqa yaqinligi;
shaxsiy omillarning umumiy natijaga ta'siri.
Aloqa shaklini aniqlash.
Aloqa shakli ta'rifi odatda x,z, W omillari bilan bog'liq bo'lgan tenglamani topish uchun kamayadi...shunday qilib, samarali belgining ikki omilga bog'liqligi lineer tenglama formula bilan aniqlanadi

=a0+a1x+a2z

A0, A1 va A2 parametrlarini aniqlash uchun eng kichik kvadratchalar usuli bilan quyidagi uchta oddiy tenglama tizimini hal qilish kerak:

Aloqa yaqinligini o'lchash.

Bir nechta qaramlik uchun aloqa yaqinligini aniqlashda ular bir nechta (umumiy) korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanadilar, bundan keyin juftlik korrelyatsiyasi koeffitsientlarini hisoblab chiqadilar. Shunday qilib, y va ikkita omil belgilari - x va z o'rtasidagi munosabatlarni o'rganishda y va x o'rtasidagi aloqaning yaqinligini aniqlash kerak, y va z o'rtasida, ya'ni juft korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblash, so'ngra ikki omildan samarali xususiyatning yaqinligini aniqlash uchun quyidagi formula bo'yicha ko'p korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang:

bu erda rxy, rzy, rzx juftlashgan korrelyatsiya koeffitsientlari.

Ko'p korrelyatsiya koeffitsienti 0 dan 1 gacha o'zgarib turadi. 1ga qanchalik yaqin bo'lsa, yakuniy natijani aniqlaydigan omillar qanchalik katta hisobga olinadi.
Agar bir nechta korrelyatsiya koeffitsienti kvadratga aylantirilsa, biz o'rganilayotgan barcha omillarning ta'siri ostida samarali xususiyatning o'zgarishining ulushini tavsiflovchi umumiy determinatsiya koeffitsientini подolamiz.
Juftlashgan korrelyatsiya bilan bir qatorda umumiy aniqlash koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanishi mumkin:

R2=σ2y/σ2y

bu erda S2y omil belgilarining tarqalishi ,
S2y - samarali xususiyatning tarqalishi.
Biroq, ko'p korrelyatsiyada nazariy y qiymatlarini hisoblash qiyin va noqulay. Shuning uchun, S2y faktor dispersiyasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bir nechta korrelyatsiya bilan aloqaning ahamiyatini tekshirish корреляцииaslida juftlashgan korrelyatsiya bilan tekshirishdan farq qilmaydi.

Faktor belgilari izolyatsiyada emas, balki o'zaro bog'liqlikda bo'lgani uchun, samarali xususiyat va boshqa omillarning doimiy qiymatlari bilan omillarning biri o'rtasidagi yaqin aloqani aniqlash vazifasi bo'lishi mumkin. Xususiy korrelyatsiya koeffitsientlari yordamida hal etiladi. Misol uchun, chiziqli aloqa bilan doimiy z bilan x va y o'rtasidagi xususiy korrelyatsiya koeffitsienti постоянномquyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bugungi kunda amalda ko'p faktorli korrelyatsiya tahlillari keng tarqalgan;

6 aloqa torligini o'lchash usullari

Dispersiya va korrelyatsiya tahlillari yordamida aloqa torligini o'lchash muayyan qiyinchiliklar bilan bog'liq va katta hajmdagi hisob-kitoblarni talab qiladi. Taxminiy baholash uchun aloqa yaqinligi murakkab, vaqt talab qiladigan hisob-kitoblarni talab qilmaydigan taxminiy ko'rsatkichlardan foydalanadi. Bunga quyidagilar kiradi: Fechner belgilari korrelyatsiya koeffitsientiФехнера, unvon korrelyatsiyasi koeffitsienti, uyushma koeffitsienti va o'zaro bog'liqlik koeffitsienti.

Belgilarning korrelyatsiya koeffitsienti o'rtacha farqlanish belgilarini solishtirishga va mos keladigan holatlar sonini va belgilarning mos kelmasligini hisoblashga asoslangan bo'lib, faktor va samarali xususiyatlarning individual qiymatlarini o'rtacha qiymatdan farqlashning juftligini taqqoslash emasот средней

(x - ) va (y - ):

i=(u-v)/(u+v),

bu erda u-x va y ning bir xil og'ish belgilariga ega bo'lgan juftliklar soniу от и ;

v-x va y ning turli xil belgilari bo'lgan juftliklar soniу от . .
Belgilarning korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha o'zgarib turadi. Koeffitsient 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, u yaqinroq bo'ladi. Agar 0 bo'lsa, kelishilgan belgilar soni mos kelmaganlardan kattaroqdir va aloqa to'g'ridan-to'g'ri. Qachon va < v i bor
Agar i = v bo'lsa, i =0 va hech qanday aloqa yo'q.
Unvonlarning korrelyatsiya koeffitsienti asosiy ma'lumotlardan emas, balki ularning o'sish tartibida joylashgan o'rganilayotgan xususiyatlarning barcha qiymatlariga tayinlangan darajalar (tartib raqamlari) bo'yicha hisoblanadi.
Agar xususiyatning qiymatlari bir xil bo'lsa, unda darajalar miqdorini qiymatlar soniga bo'lish orqali o'rtacha daraja aniqlanadi. Korrelyatsiya darajasi formula bilan aniqlanadi

bu erda d2-har bir birlik uchun turli darajadagi kvadrat, d=x-y;

n-darajalar soni;
s-o'rta daraja.
Darajadagi korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha o'zgarib turadi. Agar ikkala belgi bo'yicha darajalar bir xil bo'lsa, u holda ēd2 = 0, keyin r=1 va shuning uchun aloqa to'liq to'g'ri. Agar r = -1 bo'lsa, r=0 belgilari o'rtasida hech qanday aloqa yo'q.
Assotsiatsiya koeffitsienti ikki sifatli muqobil xususiyatlar o'rtasidagi aloqa chorasini belgilash uchun ishlatiladi.
Uni hisoblash uchun четырехклеточнаяikkita muqobil hodisalar orasidagi aloqani ifodalaydigan to'rt hujayrali birikma stol quriladi.
Uyushma koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Uyushma koeffitsienti -1 dan +1gacha o'zgaradi. АBirlikka qanchalik yaqin bo'lsa, o'rganilayotgan belgilar bir-biriga bog'liq. Ad> >bc bilan aloqa to'g'ridan-to'g'ri va ad
O'zaro bog'lanish koeffitsienti har biri uch yoki undan ortiq guruhdan iborat bo'lgan sifat ko'rsatkichlari o'rtasidagi aloqani o'rnatish zarur bo'lgan hollarda qo'llaniladi.
Shartli va shartsiz taqsimot o'rtasidagi farqlar faktor xususiyatining kümülatiyani samarali asosda taqsimlashga ta'sirini ko'rsatadi, ya'ni faktor va samarali xususiyatlar o'rtasidagi aloqaning mavjudligi va bu farqlar qanchalik katta bo'lsa, belgilar bir-biriga bog'liq bo'lsa, ular o'rtasidagi munosabatlar qanchalik yaqin bo'lsa.
Aloqa torligini aniqlash uchun o'zaro bog'lanish koeffitsienti deb ataladigan maxsus indikator hisoblanadi. Quyidagi formula bilan aniqlanadi:

bu erda n-jami birliklar soni;

m1i m2-birinchi va ikkinchi xususiyatlardagi guruhlar soni;
X2-Pearsonning mutlaq kvadrat juftligining ko'rsatkichi.
Pearsonning mutlaq kvadratik konjugatsiyasining ko'rsatkichi shartli taqsimotlarning shartsiz taqsimlanishiga yaqinligini ifodalaydiбезусловным.
Ushbu indikator, x2 mezonlari kabi, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

qaerda ōij-частостиi-satrda shartli taqsimotning chastotasi;

ōj-частостиshartsiz taqsimotning chastotasi;
j-ustun raqami.
Agar belgilar mustaqil bo'lsa,u holda ōij =ōj, bu erda X2 = 0 va Shuning uchun C = 0. Agar aloqa funktsional bo'lsa, o'zaro bog'lanish koeffitsienti birlikka teng bo'ladi.